13 立体几何初步复习与小结（数学部分）-2019年7-8月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 分析:耍证明“线面平行”,可通过“线线平行”或 面面平行”进行转化;题目屮出现∫屮点的条件,因 点评:空间几何体表面积和体积问题的常见类型此可考虑构造(添加)中位线辅助训明 及解题策略. 证明:方法一,取PD屮点E,连接AE,N (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱 ∵底面ABCD足平行四边形,M,N分别是AB 体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解 PC的中点 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式 得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行 MA∥CD,MA=bCD 求解. E是PD的中点 题型二、点、线、面位置关系中公理定理的应用 例2如图所小,在正方体ABCD ∴MA∥NE,且MA=NE, ABCD中,E,F分别是AB和A 四边形AENM是平行四边形,∴M∥AE. AA的中点求证 又AE平而PAD,MN平面PAD, 1)E,C,D,F四点共而 ∴MN∥平面PAI 2)CHE,DF,DA三线共点 例4如图,在正方体ABCD41BCDh中,O为 证明:(1)如图,连结EF,CD2:A1B. 底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是Cx E,F分别是AB,AA1的中点,EF∥BA1 上的点问:当点Q在什么位置时,平面D2Q∥平面 又A1B∥D)C,∴FF∥CD1, EC,D1,F四点共而 解析:当Q为CC的中点△ (2)∵FF∥CIh,FF<CD1 时,平面DBQ∥平面P ∴CE与D1F必相交 证明如下: 设交点为P,如图所示 因为Q为CC1的中点,P为 则由P∈CE DD1的屮点,所以QB∥P EC平而ABCD,得P∈平面ABCD 因为P,O分别为D)1,DB的中点,所以DB 同理P∈平而ADDA 又平山ABCD∩平面ADD141=D 又因为功平面PAO,POC平面PAO,所以 P∈直线DA,∴CE,hF,DA三线共点 D1B∥平面PAO 点评:共面、共线、共点问题的证明 同理QB∥平面PAO,又D1B∩QB=B,D1B,QB (1)证明点或线共面问题的两种方法:①首先由C平面DBQ 所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证 所以平而DBQ∥平而PAO 其余的线(或点)在这个平面内;②将所有条件分为两 点评:关于直线和平面平行的问题,可归纳如下 分然后分别确定平面,再证两平面重合 方法 (2)证明点共线问题的两种方法:①先由两点确 (1)证明线线平行 定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接 a⊥a,b⊥α 证明这些点都在同一条特定直线上 ∩a-a,∩p-b (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两 →a∥b 条直线交于一点,再证其他直线经过该点 题型三、平行问题的证明 (2)证明线面平行 例3在四棱锥PABCⅠ)中,底血ABCl是平行 四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN∥平 而PAD. (3)证明而面平行 9 /y ∩b=A ) 45 重点解析 数学 题型四、垂直问题的证 平面PAC⊥平面 例5如图,已知A⊥平面ABC1,且四边 点评:关于直线和平面垂直的问题,可归纳如下 ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的屮点 方法 (1)求证:MN⊥CD (1)证明线线垂直 (2)若∠P1A=45°,求证 MN⊥平面PCD 解析:(1)如图所示,取PD 的中点,连接AE,NE 因为四边形ABC1为矩形,所以AB∥C,M是 (2)证明线面垂直 AB的中点, ⊥m4Ln/bbaa/⊥a2 AM/C且AM AB=÷C m:Ca2t门 →a⊥a →aa E,N分别是PD,PC的屮点 (3)证明面面垂直 所以NE∥CD,NE=CD,所以NE∥AM,NE 所以四边形AMNF为平行四边形 AE.又PA⊥平而ABCD,CDC平面 题型五、存在性问题 ABCl),所以PA⊥CD 例7如图所小,平面ABCD⊥平面BCE,四边 又因为ABC为处形,所以AD⊥CⅠ 形ABCD为矩形,BC=(F,点F为(F的中点 (1)证明:AE∥平面BDF; 而AD∩PA=A,所以CD⊥平而PAD,AEC平 点M为CD上任意一点, 面PAI 在线段AE上是否存在点P,使得 以C】D⊥AE又AE∥MN,所以MN⊥CD PM⊥BE?若存在,确定点P的 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,又位置,并加以证明;若不存在,请 说明理由. 所以△PAD为等腰直角三角形 (1)证明连接AC交BD」点O,连接OF E为PD的中点,所以AE⊥PD,AE∥MN,所 ∵四边形ABCD是矩形, 以MN⊥P ∴O为AC的点 知CD 又F为FC的中点 PD∩CD=D,所以MN⊥平面PCⅠ 例6在三棱锥PABC中,平面PAB⊥平面 又OFC平而BDF,AE平 CF队素证平面P们上平单①解的中时E 分析:要证明“面面垂直