高三专题复习微专题之《极化恒等式的迁移应用》PDF

衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 高三数学复习微专题之 《极化恒等式的迁移应用》 贺才田（衡阳市教科院） 朱亚旸（衡东县一中） 一、问题的提出 近年，一线教师对平面向量问题的研究不断深入，极化恒等式在解决平面向 量问题上取得一些进展.随着应用的推进，一些诸如“动点”、“多动动”“曲 线”、“运动动态”“极限状态”等平面向量复杂问题接踵而来.如何让极化恒 等式这个强大的解题工具合理迁移到这些复杂问题的解决之中，带着这个问题， 笔者设计本微型专题． 二、极化恒等式 设 ba，是平面内一组基底，如图 1所示，由恒等式       22 4 1 bababa 可得 2222 4 1 DMAMBDACba      即 22 DMAMADAB  ，此等式称为 极化恒等式.其几何意义是向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四 边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 4 1 . 三、定理迁移 （一）融合三角形，化繁为简 例 1：（2016 年江苏卷理科第 13 题）如图 2，在 ABC 中，D是 BC的中点， FE, 是 AD上的两个三等分点， 4CABA ， 1CFBF ，则 CEBE  的值是 . 【分析】 依题意， 4 22  BDADACABCABA , 1 9 1 2222  BDADBDFDCFBF ， 解得 8 13 8 45 22  BDAD ， ，故 8 7 9 4 2222  BDADCDEDECEBCEBE . 例 2：（2013 年浙江卷理科第 7题）设 ABC 中， 0P是边 AB上一定点，且满足 ABBP 4 1 0  ，且对边 AB上任一点 P，恒有 CPBPPCPB 00  ，则有（ ） A. 090ABC B . 090BAC C . ACAB  D . BCAC  衡阳市数学学会 衡阳市高中教师数学交流 QQ 群：731847633 【分析】 如图 3， 22 000 22 , BMMPCPBPBMPMPCPB  因为 CPBPPCPB 00  所以 2 0 2 MPPM  ，从而 ABMP 0 ,过C作 MPCH 0// 交 AB于H，则