14 期末复习与小结《解三角形》（数学部分）-2019年7-8月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 期末复习与小结《解三角形》 口李刚 解三角形是高中数学的重要内容,主要考奎用 例2在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对 会出现“会而不对,对而不全”的现象所以解题过程边,4n2B+C-03A=2 止、余弦定犀进行三角形中的边角互化,稍不注意,则 中应注意整体思想、方稈思想的应用,做到正、余弦定 (1)求角A的度数 理的优化选择在期末备考过程中建议同学们不要求 (2)若a=√3,b+c=3,求b和c的值 难、求偏,而要掌握好常见的几种题型的解法 解析:(1)h1sin22+C cOs 2A 2及AB 题型一三角形中的基本运算 例1在ABC,已知a=23,c=√6+√2,B 1-c0(B+C)-2cos3+1=,4(1+ 解析;法 + =(23)2+6+/2)2-2·23·(6+2)c45 Lp Acos A-AcosA I 1=0, .cosa=2 12+(6+2)2-43(3+1)=8得 cOsA=6+c2 (2)由余弦定理得:cosA=b2x2 2×22×(6 法二:同法得b a=√3,b+c=3代入上式得:bc=2, 评注:解三角形问题时,要关注三角形中常见的 √6+2>2.4+1.4=3.823<2×1.8 些变换,如A+B+C=,sin(A+B)=sinC,cos(A +B)=-cosc tan( +B)==tanC, sin AtB 十B 等 例3在△ABC中,已知a=3,b=√2,B=1 评注:(1)正弦定理的表示形式 求A、C及 解析:"B=15 且 有两解 巾正弦定得:snA (2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边, A=6或120 及一角;②已知两边和其中一边对角,求 另一边的对角; ①当A=60°时,C 余弦定理的应用范围:①已知三边求三角 ②已知两边及它们的夹角,求第 47 重点解析 数学 当A=120°时,C=150→c 例5在锐角△ABC中,BC=1,∠B=2∠A,则 的值等」 ,AC的取值范围为 解析:设∠A=6,→∠B=2 故A=60°,C=75 或A=120,C= 由正弦定理得 由锐角△ABC得0<20×-90°→0°<0×45 又O<-18 90°→>30°<0: 评注:这是一个已知两边及一边的对角解三角形 的问题,可用正弦定理求解,但先要判定∧ABC是否 故 有解,有几解,亦可用余弦定理求解.因sinA=sin( 一A),故在解三角形中要考虑多种情况,灵活使用正 评注:角范围的确定是解此类问题的关键,此题 余弦定理,关键是将“条件”对号 条件为“锐角三角形”,容易忽略角C为钪角的事实. 题型二三角形中的范围问题 题型三三角形形状的判断 例4设△ABC的内角A,B,C的对边分别为 例6在△ABC屮,若(a2+b2)sin(AB)=( b,c,a=banA,且B为钝角 )sin(A+B),请判断△ABC的形状 (1)证明:B-A=5 解析:因为(a2+b)sin HB),所以砂Lsin(A+B)sin(A-B]=a2sin(A (2)求snA+sinC的取值范围. 解析:(1)证明:巾a=bamA止弦定埋,得 sinA H) )],化简整理得 cosa b-sinAcosL.由正弦定理、余弦定理得 所以sinB=co1,即sinB=sin(2+ 所以42(2 b A).因为B为钝角,所以A为锐角,所以21A∈b),即(a2-b)(2+B-4)=0,所以2-b=0或 +6 0,即a=b或a2+b=c2.所以△ABC为 则B=+ 等腰三角形或直角 即B-A= 评注:在判断三角形的形状时一定要注意解是否 唯一并注重挖掘隐合条件.另外,在变形过程中要注 (2)由(1)知,C=x(A+B)=π(+2A)=意角A,B,C的范围对三角函数值的影响,在等式变 形中,一般两边不要约去公因式;应移项提取公因式 -2A>0,所以A∈(0,) 以免漏解 题型四解三角形的实际问题 例7某港口O耍将·件重要物品用小艇送到 nA+c0s2A4 sina+sin4+1 一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港 ∏O北偏西30°且与该港相距20海里的A处,并正 以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假 因为0<A<,所以0<snA 设该小艇沿直线方向以v海里小时的航行速度匀速 行驶,经过t小时与轮船相遇 因此 (1)右希荜相過时小艇的航行距离最小,则小艇 出此可知snA+siC的取值范围是(2, 航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 评注:涉及求范围的问题,一定要搞凊已知变量小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度 的范围,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的大小),使得小艇能以最短时间与轮舭相遇,并说明 的范围(也就是函数的定义域)找完