18 解析几何中的思想方法揭秘（数学部分）-2019年7-8月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 解析几何中的恩想方法揭秘 口王佩其 解数学题,方法得当则事半功倍;方法不当,则心在第一象限,半径为22的圆C与直线y=x相切 前功尽耷,做解析儿何题更足如此那么解析儿何中于坐标原点O 的哪此基本的思想方法,能让我们“旗开得胜,马到成 (1)求圆C的方程 2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q 方程思想 到定点F(,0)的距离等于线段OF的长.若存在,请 解析几何主要研究此线与方程的关系,因此求求出点Q的坐标;若不存在,请说叨理出 解解析几何问题,往往离不开方程思想. 二、函数思想 例1已知园O的方程为x2y2=1,它与x轴 对于一类解析几何中的最值问题,往往可以通过 交与PQ两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,建立目标函数,从而转化为函数的最值问题 过点A(3,0)且与x轴垂自的自线为l,直线PM交直 例2(1)点P(1,2)和圆C:x2 线l于点P,直线QM交直线L于点Q求训:以PQk=0上的点的距离的最小值是 w为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标 (2)已知点A(1,-1),B(2,2),点P在直线y 解析:在圆方程x+y2=1,「令y=0.得 士1,即P(-1,0),Q(1,0 x上,则|PA|21|P|2取得最小值时P点的坐标 又直线l过点A且与x轴垂直,直线l方程为 解析:(1)圆的方程化为标式为(x+k)2十 设M(,),则直线PM方程为 1)2 圆 解方程组 +1(x+1)得P 11)2>1,点P(1,2)在圆外 点P到圆心C的距离为 同理可得,Q ∴以PQ为直径的圆C的方程为 ∴点P和圆C上点的最小距离dmm=|PC 3)(x-3)(y (2)设P(2,t),则|PA|2+|PB|2=(2t1)2+(t 又+2=1,∴整理得(x2+y2-6x+1) +1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10r-14t+1 若圆C经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+ 当=10时,PA12+PB1取得最小值,此时有 1=0,解得x=3±2√2, PO 圆C总经过定点坐标为(3±2√2,0) 所以|PA|2+|PB|2取得最小值时P点的坐标 点评:以PQ为直径的圆C是动圆,将动圆的 为 程改写为曲线系的形式,通过解方程组 点评;利用函数关系求解析几何的最值闷题,易 得到定点的坐标 错点是容易忽视参数的取值范围.对于本例,参敛k 变式训练1:在平面直角坐标系xO中,匚知圆与t的取值范围都是任意实数. 58 解题方法 五、分类讨论 于解析几何中位置关系的复杂性,我们在分析 解析:圆C,C2的图象如图 问题时,需思维严谨,当某些位置关系成某些关键元所 素(如斜率)不确定吋,应分类讨论 设P是x轴上任意一点,则 例5求过点A(4,2),且在两坐标轴上的截距的|PM|的最小值为|PC 绝对值札等的直线l的方程 同理|PN的最小值为|PC2 解析:当直线过原点时,它在x轴、轴上的截距3姆|PM|+|PN的最小值 都是0,满足题意 为|PC1|||P(2|-1.作(1关于x轴的对称点 C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC 此时,白线的斜率为,所以自线方程为y=可知PC|+1PC|的最小值为Ci'C2|,则|PM| PN|的最小值为5√2-1,枚选A 点评:两点A,B在直线l的同侧,可在l上找 当直线不过原点时由题意可设直线方程为a十点M使|MA|+MB为最小,方法是可先求出点A y=1,又过点A,所以4+ (或B)关于直线的对称点A(或月),连接AH(或 B≈1(1) B),则AB(或AB)的长度即为所求 因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所 变式训练6:函数∫(x)=√x28x+20+√x2+1 以|a|=b(2 的最小值为 由(1)(2)联立方程组,解得 七、设而不求 大家知道,求解解析儿何问题,解方程或解方程 所以所求直线的方程为6+6=1或2+二2组是“家常便饭”,而为了优化解题过程我们往社需 对方程组的解或相关点的坐标“设而不求 化简得直线l的方程为x+y=6或x-y 例7已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x 综上,直线l的方程为y=x或x+y=6或x0Q,求实数m的值 0相交于P,Q两点,O为原点,且OP⊥ 点评;如果题目中出现直线在两坐标轴上的“薇 解析:巾 消去y,得 距相等”、“截距的绝对值相等”、“戳距互为相反数 +10x+4m27=0 在一坐标軸上的戳距是另一坐标轴上截距的m倍 设P(x1,w),Q(x,y),则 )”等条件时,可采用戳距式求直线方程 定要注意考虑“零截距”的情况 变式训练5:(1)若二条直线l1ax+v+1=0,l2 +ay+1=0,l3:x+ 能构成三角形,则a应 满足的条件是 又OP⊥OxQ,∴kp·k 即x1x2+ 或 ).a≠士1且 (2