2.2 圆的对称性-2020-2021学年九年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

圆的对称性 知识点一、圆的中心对称 1. 圆是中心对称图形，对称中心就是圆心； 2. 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合； 3. 旋转不变性是圆的特有性质. 知识点二、圆心角、弧、弦之间的关系 1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等； 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等； 3. 定理成立的前提：在同圆或等圆中，如果没有这个前提条件，那么定理就是不成立的. 如图所示：两个圆的圆心相同，与对应同一圆心角，但是，. 例：如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：. 【解答】见解析 【解析】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD， ∵OA＝OB，且， ∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB， ∴Rt△COM≌Rt△DON， ∴∠COM＝∠DON， ； 证法二：如图所示，连接AC、BD、OC、OD， ∵M是AO的中点，且CM⊥AB， ∴AC＝OC， 同理BD＝OD，又∵OC＝OD， ∴AC＝BD，. 知识点三、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间关系 1. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等； 2. 通常我们所说的一条圆弧的度数，就是指它所对的圆心角的度数； 3. 等弧是指度数和长度都相等的弧（等弧的度数一定相等，而度数相等的弧不一定是等弧）. 知识点四、圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴（任何一条直径所在的直线都是它的对称轴），圆有无数条对称轴. 知识点五、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，如图所示： ∵CD是直径，且CD⊥AB，∴EA＝EB，. 若一条直线具有以下两个性质：①过圆心；②垂直一条弦；则这条直线具有以下三个性质：①平分弦；②平分弦所对的优弧；③平分弦所对的劣弧. 圆心到圆的一条弦的距离称为弦心距. 例：如图所示，在半径为5的中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 4 D. 3.5 【解答】C 【解析】连接OA，如图所示： ∵AB⊥OP， 又∵OA＝5，，故选C. 巩固练习 一．选择题 1． 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（　　） A．10 B．8 C．5 D．3 2． 如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3． 如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 4． 下列命题中，不正确的是（　　） A．垂直平分弦的直线经过圆心 B．平分弦的直径一定垂直于弦 C．平行弦所夹的两条弧相等 D．垂直于弦的直径必平分弦所对的弧 5． 如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（　　） A．30° B．20° C．40° D．35° 6． 如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD＝45°，则∠ADB的度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 7． 如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一起最高为多少米（　　） A．3m B．3.4m C．4m D．2.8m 二．填空题 8． 如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为　 　． 9． 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则△OCE的面积为　 　． 10．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　 　． 11．在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连结AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　 　． 12．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为　 　． 13．如图，已知⊙O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP＝　 　． 14．如图，水平放置的一个油管的截面为圆形，半径为10cm，如果油面宽AB＝16cm，那么有