2.1—2.3 圆 圆的对称性 确定圆的条件 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

2.1—2.3 圆 圆的对称性 确定圆的条件 一、圆 定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，一般用字母O表示。圆心确定圆的位置。 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。半径确定圆的大小。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。在同圆或等圆内，有无数条半径，所有的半径都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。在同圆或等圆内，有无数条直径，所有的直径都相等。直径的长度是半径的2倍，用字母表示为d=2r。 弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。劣弧指小于半圆周的弧，优弧指大于半圆周的弧。 二、圆的对称性 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。这一性质意味着，如果沿任意一条直径对折圆，两侧的图形都会完全重合。 2.圆的中心对称性 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合，这体现了圆的旋转不变性。 3.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，如果两条弧相等或两条弦相等（且它们不是直径），那么它们所对的圆心角也相等。这一定理及其推论是圆的重要性质，也是解决与圆相关问题的关键。 4.垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。这些定理和推论在证明圆的性质、求解圆的问题时非常有用。 三、确定圆的条件 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。这里，“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”。作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 三角形的外接圆和外心 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点距离相等。 巩固课内例1:圆环问题 1．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 2．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）． 3．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    巩固课内例2:弦、弧、圆心角之间的关系 1．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 2．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 3．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 巩固课内例3:垂径定理求同心圆 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 3．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 巩固课内例4:三角形外接圆作图 1．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 3．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 类型一、点与圆的位置关系 1．如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 2．若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 3．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 类型二、弦、弧、圆心角的概念 1．如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（   ）    A． B． C． D．若，则 2．已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 类型三、判断确定圆的条件 1．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    类型一、垂径定理求值 1．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    3．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 类型二、垂径定理的应用 1．管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，排水管水面宽为，则此时水管水面上升了 m． 3．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 类型三、弧的度数 1．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 3．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 类型一、点与圆的最值问题 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 2．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 3．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 类型二、求特殊三角形的外接圆半径 1．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 3．【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 类型三、尺规作图 1．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 2．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）    3．尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1—2.3 圆 圆的对称性 确定圆的条件 一、圆 定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心，一般用字母O表示。圆心确定圆的位置。 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。半径确定圆的大小。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。在同圆或等圆内，有无数条半径，所有的半径都相等。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。在同圆或等圆内，有无数条直径，所有的直径都相等。直径的长度是半径的2倍，用字母表示为d=2r。 弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。劣弧指小于半圆周的弧，优弧指大于半圆周的弧。 二、圆的对称性 1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。因此，圆有无数条对称轴。这一性质意味着，如果沿任意一条直径对折圆，两侧的图形都会完全重合。 2.圆的中心对称性 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意角度后，都能与自身重合，这体现了圆的旋转不变性。 3.圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。反之，如果两条弧相等或两条弦相等（且它们不是直径），那么它们所对的圆心角也相等。这一定理及其推论是圆的重要性质，也是解决与圆相关问题的关键。 4.垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。这些定理和推论在证明圆的性质、求解圆的问题时非常有用。 三、确定圆的条件 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。这里，“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”。作图的关键是确定圆心的位置和半径的大小。 三角形的外接圆和外心 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点距离相等。 巩固课内例1:圆环问题 1．适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设同心圆的圆心为，连接，则大圆的半径为，小圆的半径为，      ∴设小圆的半径为，大圆的半径， ∵像素，， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆环面积的计算方法是解题的关键． 2．国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案．已知，每个圆环的内、外半径分别为4米和5米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，若修剪每平方米的人工费用为10元，则修剪此图案所花费的人工费为 元（π取3）． 【答案】1270 【分析】根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【详解】解：修剪草坪的面积为：（平方米）， 因此所用的人工费为（元）， 故答案为：1270． 【点睛】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积-小圆面积=环形面积是关键． 3．如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径的2倍多1米，如果圆环的面积等于平方米，求围成圆环铁丝的总长度.    【答案】 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为，根据，列方程求得大圆和小圆的半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解． 【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为， 由图可得，，即， 解得， （舍），， ∴， ∴， 答：围成圆环铁丝的总长度为． 巩固课内例2:弦、弧、圆心角之间的关系 1．如图，的三个顶点都在一圆上，固定点将依顺时针方向旋转，旋转后的三角形为，且会落在同一圆上，其中与的夹角为，若，，则值为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键． 连接，依题意得：，由旋转的性质得，则，进而得，再由三角形内角和定理求出，继而得，由此即可得出x的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∴x的值为37． 故选：D． 2．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， 连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 3．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系．由垂径定理得到，而，得到，从而推出． 【详解】证明：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固课内例3:垂径定理求同心圆 1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之间的关系得出S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD，从而得出S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大，过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S△AOD的最大值，从而求出结论． 【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD ∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD， ∴OM=AP 根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点， ∴S矩形APND=S矩形ABCD ∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长 ∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD ∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大 过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号） ∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4 故S△AOD的最大值为4 ∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键． 3．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 巩固课内例4:三角形外接圆作图 1．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心． 已知：． 求作：所在圆的圆心． 曈曈的作法如下：如图2， （1）在上任意取一点，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心． 老师说：“曈曈的作法正确．” 请你回答：曈曈的作图依据是 ． 【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【分析】（1）在上任意取一点，分别连接，； （2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：， 所以点是所在圆的圆心（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：） 故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆） 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见详解 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】 类型一、点与圆的位置关系 1．如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 2．若点A到圆心O的距离为，的半径是3，则点A在圆 （填“内、上、外”）． 【答案】外 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵的半径是3，点A到圆心O的距离为， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在外． 故答案为：外． 3．已知矩形的边，． (1)以点A为圆心、为半径作，求点B，C，D与的位置关系； (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求的半径r的取值范围． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 类型二、弦、弧、圆心角的概念 1．如图，已知锐角，按下列要求作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是（   ）    A． B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：如图，   A、连接，， ∴，故A不符合题意； B、连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； C、连接， 由作图得， ∴， ∴， ∴， ∴不一定等于，故C符合题意． D、由， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 2．已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 3．如图，A，B，C，D是上的四个点，，与交于点M．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由，得，所以，所以，根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴．    ∴ 类型三、判断确定圆的条件 1．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】此题考查了圆中的有关概念和性质．根据相关知识进行解答即可． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故原说法错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故原说法错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故原说法正确． 故选：D． 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 3．如图，在四边形中，．求证：四点在同一个圆上．    【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，圆的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先由勾股定理得出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证明． 【详解】证明：连接，      ∵， ∴， 又， ， ， 取的中点O，连接， ∴， ∴点在同一个圆上． 类型一、垂径定理求值 1．的半径为，弦，，则和的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，因为位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论． 【详解】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； ②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； 综上，和的距离是或． 故选：C． 2．如图，是的直径，点、在上，且，垂足为．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，设，则，求得 ，根据垂径定理得，进而在中根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设，则，    ∴ ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：6． 3．如图， 为的直径，弦于E，已知，，求的直径 【答案】的直径为26 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，根据垂径定理得到，设的半径为，则，利用勾股定理求出，即可得到直径的长． 【详解】证明：∵为的直径，， ， 设的半径为， 则， 在中，， ， 解得：， ∴的半径为13， ∴的直径为26． 类型二、垂径定理的应用 1．管是灌溉的常用工具之一，如图是一个圆柱形水管在某次灌溉时横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面的宽为，水面最深的地方高度为，则该水管的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的几何性质、垂径定理以及勾股定理，过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接，利用垂径定理得到，再用勾股定理得到方程求解即可． 【详解】过点作的垂线交于点，交优弧于点，连接 ， 设 ，即 解得： 故选：B． 2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，排水管水面宽为，则此时水管水面上升了 m． 【答案】或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． ：设上升后的水面为，即，过作于，交于，连接，由垂径定理得，，在中，由勾股定理得，然后再分两种情况，根据可求解． 【详解】解：设上升后的水面为，即， 过作于，交于，连接， 则， ∵， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 当水面未过圆心时，， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了或， 故答案为：或． 3．如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 类型三、弧的度数 1．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 2．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是 ． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 3．在等边中，，以A为圆心，2为半径画的．    (1)【特例感知】如图①，当点D、E分别在上时，与的数量关系为 ．（不需要证明） (2)【一般探究】如图②，将图①中的扇形绕点A转动，在旋转过程中，上述（1）的数量关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图②，在扇形旋转过程中，当点B、E、D三点共线时，的长为 ． 【答案】(1) (2)存在，见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，然后利用等式的性质可得答案； （2）先证明，然后根据证明即可求解； （3）分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况求解即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵是等边三角形， ∴，． ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当顺时针旋转时，如图，作于H，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（2）得：， ∴； 当逆时针旋转时，如图，作于H，    同理可求． 综上可知，的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 类型一、点与圆的最值问题 1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 2．如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为 ． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 3．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 类型二、求特殊三角形的外接圆半径 1．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，解可得方程的两个根为6与8；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为10；故半径等于5． 【详解】解：， 解得：，， ∴斜边边长为， 即直角三角形外接圆的直径是10， ∴半径等于5． 故选：C 2．一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的半径为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，直角三角形的外接圆．解题的关键是正确的求出一元二次方程的根，注意分类讨论．先解方程求出方程的两个根，再根据较大的根为斜边和直角边，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或 ∴，， ①当直角边分别为2，6时，斜边为， ∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长， ∴此时直角三角形外接圆的直径为，半径为； ②当斜边为6时， 此时直角三角形外接圆直径为6，半径为3， 故答案为：3或． 3．【公式探索】 （1）计算______；________；__________ 【公式建构】 （2）根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明． 【迁移应用】 （3）如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索、完全平方公式、勾股定理、直角三角形的外接圆等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）先计算乘方，再计算加法即可得； （2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证； （3）利用勾股定理可得计算，的式子，再利用（2）中的规律即可得的值，从而可得的值，然后根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：，，． （2），即， ，即， ，即， 归纳类推得：（为正整数），证明如下： ，得证． （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴外接圆的半径为． 类型三、尺规作图 1．如图，在中， °，，要求用无刻度的直尺和圆规在内部作一个45°的．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作的平分线；②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图、图、图分别对应其中的一种，根据尺规作图痕迹，其对应顺序正确的是（　） A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，熟练掌握以上知识是解题的关键． 按照角平分线的尺规作图，圆的尺规作图，与图，图，图分别对应即可． 【详解】解：①作的平分线：画角平分线的方法是，以角的顶点为圆心，画一个圆弧，交角两边于两点，以这两点为圆心，大于两点连接线一半为半径，画两个圆，交于一点，连接角顶点和两个圆交于的一点，沿长交于三角形一边，此直线即为角平分线． 故对应图所示． ②构造等腰直角三角形：以点为圆心，以为半径画圆，交于点，故为等腰直角三角形，故对应图所示． ③分别作两个锐角的平分线，按照①中角平分线的画法即可得出，对应与图所示． 故选：． 2．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）    【答案】③ 【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断. 【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； ②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的； ③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似; ④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的； 故答案为:③. 【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 3．尺规作图：（保留作图痕迹即可） (1)请在图①中作菱形，使得点E在上，点F在上；（保留作图痕迹即可） (2)请在图②中以矩形的边为边作菱形，使得点在上；（保留作图痕迹即可） (3)请在图③中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等．（写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接，，则四边形为所求； （2）以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、，则四边形为所求； （3）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形为所求． 证明如下：∵是的垂直平分线， ∴，， 设与的交点为O， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）如图，菱形即为所求． 证明如下：由作图可得， ∴四边形是菱形． （3）解：如图， ①作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得； ②以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E； ③作，作直线，分别交于点、． ∴点、即为所求． 证明如下：设与交于点G， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， 由作图可知， ∴，， 由作图可知， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$