专题12 平面向量-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化

专题 12 平面向量 —2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 本部分内容在备考时应注意加强对向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则的理解、掌握两向量共线与垂直的条件，熟记平面向量的相关公式，掌握求模、夹角的方法． 考向预测： 利用平面向理的基本运算解决数量积、夹角、模或垂直、共线等问题，与三角函数、解析几何交汇命题．必备知识 1、 相关概念 1. 向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，常用或表示. 2. 向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的模，向量或的模记作或. 3. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量；与方向相同的单位向量是，与方向相反的单位向量是. 4. 零向量：模等于0的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的. 5. 相等向量：模相等，方向相同的两个非零向量叫做相等向量. 6. 平行（共线）向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行（共线）向量. 2、 向量的加法、减法运算 1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则 在平行四边形ABCD中，；. 2.向量减法的三角形法则 在三角线ABC中，.（共起点，连终点，指被减） 3、 向量共线定理及平面向量基本定理 1.向量与非零向量共线的条件是存在唯一一个实数，使得，当时，表示与同向；当时，表示与反向；当时，. 2.平面向量基本定理：如果是平面内的两个不共线的向量，那么对于平面内的任意向量，总存在一对实数，使，其中不共线的向量叫做这一平面内任意向量的一组基底. 3.三点共线与向量共线的关系 设是平面内不共线的向量，若存在，使，则当时，三点共线；反之，当三点共线时，；特别地，当时，是的中点. 4.向量中线定理 在中，为线段的中点，则. 4、 向量的夹角，数量积及向量的投影 1.共起点的两个向量的两条射线所成的角叫做这两个向量的夹角.常用字母表示，它的取值范围是. 2. 叫做与的数量积，记作，即：. 3. 在方向上的投影为, 在方向上的投影为. 4、设和都是非零向量，则①． ②当与同向时，；当与反向时，；③==或= 5、 平面向量的坐标表示及运算 1.设分别是平面内与轴的正半轴和轴的正半轴方向相同的单位向量，是平面内的任意向量，若存在一对实数，使，则有序数对叫做向量的坐标，记作 2.设，与的夹角为，则 ； （夹角公式） 3.向量的夹角与向量的数量积之间的关系 设向量