1.3函数综合（1）-2021届高三数学一轮复习讲义（学生版+教师版）

教师 日期 学生 课程编号 课型 课题 函数综合 教学目标 掌握单调性、奇偶性的定义与变形 教学重点 灵活使用单调性、奇偶性进行图像、运算及综合运用 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 20 2 例题解析 60 3 师生总结 10 4 当堂检测 30 5 课后练习 30 …… 函数综合 知识梳理 1. 奇函数 函数关于原点对称，即。若函数在上有定义，令，有 2. 偶函数 函数关于y轴对称，即 3. 周期函数 ：，其中，，是一个常数，可以有正负 4.函数对称性 ①若函数满足，则函数关于轴对称 ②若函数满足，则函数关于点对称 ①的变形有：、等；②的变形有、、等 例题解析 【例1】已知f（x）=，且g（x）=f（x）+有三个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．（，+∞） B．[1，+∞） C．（0， ） D．（0，1] 【解答】解：令g（x）=0得f（x）=﹣， 作出f（x）=ln（1﹣x）与y=﹣的函数图象， 由图象可知f（x）与y=﹣在（﹣∞，0）上只有1个交点， ∴g（x）=0在（﹣∞，0）上只有1个零点， ∴f（x）=﹣在[0，+∞）上有2个零点， 即得到x2﹣ax+=0在[0，+∞）上有两解， 解方程x2﹣ax+=0得x1=0，x2=a﹣， ∴a﹣＞0，即a． 故选A． 【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题． 【巩固练习】1、设函数f（x）=x2﹣2ax+15﹣2a的两个零点分别为x1，x2，且在区间 （x1，x2）上恰好有两个正整数，则实数a的取值范围　（，]　． 【解答】解：令f（x）=0，可得x2 +15=2a（x+1），即=2a， 由题意可得方程=2a 有2个解x1，x2， 且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数， 故函数y=的图象和直线y=2a有两个交点， 且这2个交点的横坐标分别为x1，x2． 再令x+1=t，则y==t+﹣2， 即m（t）=t+的图象和直线y=2a+2有两个交点， 且这2个交点的横坐标分别为t1，t2， 在区间（t1，t2）上恰有两个正整数，而这两个正整数应为4和5． 令t=5，则m（t）=，令t=3，则m（t）=， ∴＜2a+2≤，求得＜a≤， 故符合条件的a的范围是：{a|＜a≤}． 故答案为：（，]． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，函数的图象，函数零点的定义，属于中档题． 【例2】已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）﹣tf（x）（t∈R），若满足g（x）=﹣1的x有四个，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：令y=xex，则y'=（1+x）ex，由y'=0，得x=﹣1， 当x∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y单调递减， 当x∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y单调递增．作出y=xex图象， 利用图象变换得f（x）=|xex|图象（如图10）， 令f（x）=m，则关于m方程h（m）=m2﹣tm+1=0 两根分别在时（如图11）， 满足g（x）=﹣1的x有4个，由， 解得． 故选：B． 【巩固练习】2、已知函数 f（x）=x++a，x∈[a，+∞），其中a＞0，b∈R，记m（a，b）为 f（x）的最小值，则当m（a，b）=2时，b的取值范围为（　　） A．b＞ B．b＜ C．b＞ D．b＜ 【解答】解：函数 f（x）=x++a，x∈[a，+∞）， 导数f′（x）=1﹣， 当b≤0时，f′（x）＞0，f（x）在x∈[a，+∞）递增，可得f（a）取得最小值， 且为2a+，由题意可得2a+=2，a＞0，b≤0方程有解； 当b＞0时，由f′（x）=1﹣=0，可得x=（负的舍去）， 当a≥时，f′（x）＞0，f（x）在[a，+∞）递增，可得f（a）为最小值， 且有2a+=2，a＞0，b＞0，方程有解； 当a＜时，f（x）在[a，）递减，在（，+∞）递增， 可得f（）为最小值，且有a+2=2，即a=2﹣2＞0，解得0＜b＜． 综上可得b的取值范围是（﹣∞，）． 故选：D． 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，有解运算能力，属于中档题． 　 【例3】已知方程ln|x|﹣ax2+=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由ln|x|﹣ax2+=0得ax2=ln|x|+， ∵x≠0， ∴方程等价为a=， 设f（x）=， 则函数f（x）是偶函数， 当x＞0时，f（x）=， 则f′（x）===， 由f′（x）＞0得﹣2x（1+ln