1.4函数综合（2）-2021届高三数学一轮复习讲义（学生版+教师版）

教师 日期 学生 课程编号 课型 课题 函数综合 教学目标 掌握单调性、奇偶性的定义与变形 教学重点 灵活使用单调性、奇偶性进行图像、运算及综合运用 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 20 2 例题解析 60 3 师生总结 10 4 当堂检测 30 5 课后练习 30 …… 函数综合 知识梳理 1. 奇函数 函数关于原点对称，即。若函数在上有定义，令，有 2. 偶函数 函数关于y轴对称，即 3. 周期函数 ：，其中，，是一个常数，可以有正负 4.函数对称性 ①若函数满足，则函数关于轴对称 ②若函数满足，则函数关于点对称 ①的变形有：、等；②的变形有、、等 例题解析 【例1】定义在（0，+∞）上的可导函数f（x）满足xf'（x）﹣f（x）=x，且f（1）=1，则关于函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：由题意可得=，根据积分可得：=lnx+c，即f（x）=xlnx+cx． 代入f（1）=c=1，可得：f（x）=xlnx+x=x（lnx+1）． ∵=0， ∴|f（x）|=bx+， ①当0＜x＜时，f（x）=﹣x（lnx+1） ∵f′（x）=﹣（lnx+2）， 令f′（x）=0，解得x=， ∴函数在（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减， ∴f（x）max=f（）=， ∴f（x）在（0，）的值域为（0，）， ②当x≥时，f（x）=x（lnx+1） ∵f′（x）=lnx+2＞0恒成立， ∴f（x）在[，+∞）上为增函数， ∴f（x）≥f（）=0， 分别画出y=|f（x）|的图象与y=bx+的图象， 由于y=bx+1的图象恒过点（0，），且＜， 当b=﹣时，令y=﹣x+=0，解得x=， ∵＞， ∴y=|f（x）|的图象与y=bx+的图象有3个交点， 当b=0，y=，此时y=|f（x）|的图象与y=bx+1的图象有3个交点 综上所述关于函数的零点个数为3个， 故选：C． 　 【例2】函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数，当x∈[0，1]时，，若函数g（x）=f（x）﹣x﹣b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣1）为偶函数， ∴f（﹣x﹣1）=f（x﹣1）=﹣f（x+1）， 即f（x）=﹣f（x+2）， 则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4， ∵f（x﹣1）为偶函数，∴f（x﹣1）关于x=0对称， 则f（x）关于x=﹣1对称，同时也关于x=1对称， 若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]， 此时f（﹣x）==﹣f（x），则f（x）=﹣，x∈[﹣1，0]， 若x∈[﹣2，﹣1]，x+2∈[0，1]， 则f（x）=﹣f（x+2）=﹣，x∈[﹣2，﹣1]， 若x∈[1，2]，x﹣2∈[﹣1，0]， 则f（x）=﹣f（x﹣2）==，x∈[1，2]， 作出函数f（x）的图象如图： 由数g（x）=f（x）﹣x﹣b=0得f（x）=x+b， 由图象知当x∈[﹣1，0]时，由﹣=x+b，平方得x2+（2b+1）x+b2=0， 由判别式△=（2b+1）2﹣4b2=0得4b+1=0，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点， 当x∈[4，5]，x﹣4∈[0，1]，则f（x）=f（x﹣4）=， 由=x+b，平方得x2+（2b﹣1）x+4+b2=0， 由判别式△=（2b﹣1）2﹣16﹣4b2=0得4b=﹣15，得b=﹣，此时f（x）=x+b有两个交点， 则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足﹣＜b＜﹣， 即实数b的取值集合是4n﹣＜b＜4n﹣， 即4（n﹣1）+＜b＜4（n﹣1）+， 令k=n﹣1， 则4k+＜b＜4k+， 故选：D． 　 【例3】已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立，若a=30.2•f（30.2），b=（logπ2）•f（logπ2），c=•f ，则a，b，c间的大小关系（　　） A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【解答】解：构造函数g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）． 当x＞0时，不等式f（x）+x•f′（x）＜0成立， ∴当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减． ∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数， ∴g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x）， ∴g（x）在R上是奇函