4.8数学归纳法-2021届高三数学一轮复习讲义（学生版+教师版）

教师 日期 学生 课程编号 课型 复习专题 课题 数学归纳法 教学目标 1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。 教学重点 1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 20 2 例题解析 60 3 师生总结 10 4 当堂检测 30 5 课后练习 30 …… 数学归纳法 知识梳理 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2．数学归纳法的框图表示 例题解析 【例1】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤． 【例2】已知数列中，满足记为前n项和． （I）证明：； （Ⅱ）证明： （Ⅲ）证明：. 【例3】设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*， （I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1； （II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1； （III）当a1=时，n﹣＜Sn＜n． 【例4】已知数列{an}满足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）． （Ⅰ）证明：an＞1； （Ⅱ）证明：++…+＜（n≥2）． 【例5】已知数列中，a1=1，a2=，且an+1=（n=2，3，4，…）． （Ⅰ）证明：求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：（i）对一切n∈N*，都有＞； （ii）对一切n∈N*，有a12+a22+…+an2＜． 课后练习 1、设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*． （Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*） （Ⅱ）若|an|≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*． 2、已知在数列{an}中，．，n∈N* （1）求证：1＜an+1＜an＜2； （2）求证：； （3）求证：n＜sn＜n+2． 3、已知数列{an}满足a1=1，an+1=，n∈N*． （1）求证：≤an≤1； （2）求证：|a2n﹣an|≤． 高一数学寒假课程 （S版） 15 / 15 数形结合思想（教师版） $$ 教师 日期 学生 课程编号 课型 复习专题 课题 数学归纳法 教学目标 1、梳理基础知识点。 2、让学生熟悉本章考点及常考题型。 3、培养学生的计算能力。 教学重点 1、分析问题的灵活性及全面性。 2、计算环节的准确性。 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 20 2 例题解析 60 3 师生总结 10 4 当堂检测 30 5 课后练习 30 …… 数列复习3 知识梳理 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 2．数学归纳法的框图表示 例题解析 【例1】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤． 【解答】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0， 当n=1时，x1=1＞0，成立， 假设当n=k时成立，则xk＞0， 那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾， 故xn+1＞0， 因此xn＞0，（n∈N*） ∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1， 因此0＜xn+1＜xn（n∈N*）， （Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）， 记函