第二章 一元二次函数、方程和不等式-2020-2021学年新教材高中数学必修1经纶学典【学霸典中典】(人教A版)

第二章一元二次函数、方程和不等式 第二章 元二次函数、方程和不等式 21等式性质与不等式性质 要点1不等关系和不等式 等式叫做同向不等式 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边 知识点11 而另一个不等式的左边小于右边,那么这两个不等式叫 不等关系的几种类型 做异向不等式 (1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系,如飞 (3)关于a≤b和a≥b的含义 机的质量大于汽车的质量 不等式a≤b应读作“a小于或等于b”,其含义是 (2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系,如某a<b和a=b中有一个成立即可”等价于“a不大于b” 小学生的身高小于或等于1.8米 即若a<b和a=b中有一个成立,则a≤b成立 (3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系,如当 不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是 x>a时,销售收入f(x)大于成本g(x); “a>b和a=b中有一个成立即可”,等价于“a不小于b” (4)用不等式表示一组变量之间的不等关系,如种植即若a>b和a=b中有一个成立,则a≥b成立 菊花的面积30x与种植仙人掌的面积15y的和不超过 要注意“a≤x≤b”与“x∈[a,b]”的区别,在区间[a 1000平方米 b]中有a<b的限制,而在不等式“a≤x≤b”中没有限制 例1如图,在日常生活中,我们经常看到下列标志 例2>完成一项装修工程,请木工共需付工资每人400元, 请瓦工共需付工资每人500元,现有工人工资预算不超 过20000元设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系 式是 答案」A 其含义分别为: 解析〕由题意,可得400x+500y≤20000,化简得4x+ ①最低限速:限制行驶时速v不得低于50km:h; 5y≤200.故选A. ②限制质量:装载总质量m不得超过10t ③限制高度:装载高度h不得超过3.5m; 要点2等式与不等式 ④限制宽度:装载宽度a不得超过3m; ⑤时间范围:t∈[7.5,101 知识点21 你能用数学式子表示上述关系吗? 等式与不等式性质对比 解」①v≥50;②m≤10;③h≤3.5;④a≤3:⑤7.5≤t≤10 等式的性质 不等式的性质 知识点12 a=bbb=a Cheb<e (1)不等式的定义 用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代 数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式 子叫做不等式. a>b,c>d→a+c>b+d 其中用“<”或“>”连接的不等式叫严格不等式,用 “≤”或“≥”连接的不等式叫非严格不等式 b,c=d→ac=bl a>b>0,c>d>0→ac>bd (2)不等式的分类 在两个不等式中,如果每一个不等式的左边都大于 a=b≥0→a=b a>b>0→a8>b”(n∈N,n≥1) 右边,或每一个不等式的左边都小于右边,这样的两个不 a=b≥0→a=5a>b>0→>Y(n∈N,n≥2) 元二次函数、方程和不等式 22基本不等式 要点1基本不等式ab=2 C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯 D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯 知识点1.1 答案」A 重要不等式 解析:0+2的≤(“)=当且仅当 (1)重要不等式的实质是实数平方的非负性,不等式 a,b的取值既可以是某个具体的数,也可以是一个代4=b=2时取等号:c+d≥2,c+≥2√=4 数式 当且仅当c=d=2时取等号故c+d≥ab,当且仅当a b=c=d=2时取等号 (2)不等式a2+b2≥2ab可以变形为ab 4ab≤a2+b2+2ab,2(a2+b2)≥(a+b)2等 要点2最值定理及几个特殊不等式 例D已知a,b∈ER,且ab>0,则下列结论恒成立的是知识点2 最值定理 A.a2+b2>2a B.a+b≥2√ab 设a,b均为正数 (1)若a+b为定值S,则当a=b时,积ab取最大值 答案〕D 解析)对于A,当a=b时,a2+b2=2ab,所以A错误;对 (2)若ab为定值G,则当a=b时,和a+b取最小值 于B,C,ab>0只能说明a,b同号,当a,b都小于0时 几个注意点 B,C错误;对于D,因为ab>0,所以a>0,b>0,所以 (1)最值定理是求最值时应用极广的定理之 (2)利用基本不等式求最值要牢记三个关键词 a+b≥2成立 正、二定、三相等. 知识点1.2 ①一正:各项必须为正 基本不等式 ②二定:各项之和或各项之积为定值 (1)基本不等式成立的条件是a>0,b>0 ③三相等:必须验证取等号时条件是否具备 ①若a<0,b<0,如a=-2,b=-4,会出现 (3)应用基本不等式求最值的关键:依定值去探求最 -2)+(-4) 值,探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑 ≥√(-2)×(-4)的错误结论 配等变换 ②若a,b中有一