第四章 指数函数与对数函数-2020-2021学年新教材高中数学必修1经纶学典【学霸典中典】(人教A版)

第四章指数函数与对数函数 第四章指数函数与对数函数 41指数 要点1根式的运算 得 即a,b是方程x2-mx+n=0的两个根 知识点11 进而解出a,b 根式的基本运算 例2求值:5+26-√6-42+√7-43 1.n次方根的性质: 解)原式=√5+26-√6-28+ ①当n是奇数时,正数a的n次方根是一个正数,负数 a的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用表 (2-√2)+(2-3)=2√2 ②当n是偶数时,正数a的n次方根有两个,这两个 注意配方完从根式里开出去的时候一定要带括号计 数互为相反数,记为士a;负数没有偶次方根 算,防止出错,不要直接去括号,尤其前面是减号的时候 ③0的任何次方根都为0,记作0=0 2根式的性质: 要点2指数幂的运算和化简 ①(a)”=a(n>1,n∈N),如(6)5=6; 知识点2 ②当n为奇数时,ya"=a 指数幂的运算法则 (1)正数的分数指数幂的意义 当n为偶数时,a=|a ①正分数指数幂:a 例1有下列说法 ①√-27=3 ②负分数指数幂:a a>0,m,n∈N',且 ②16的4次方根是±2 ③√81=±3; ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有 意义 ⑤%(x-2)+(x-)=2-②(其中x<2) (2)有理数指数幂: 其中正确的是 (填正确说法的序号) (a>0,r,s∈Q) 答案)②④⑤ 解析当n是奇数时,负数的n次方根是一个负数,故 ③(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q 延伸性质:④a÷a=a(a>0,r,s∈Q); √-27=-3,①错误;正数的偶次方根有2个,②正确; √81=3,注意√81不是表示81的4次方根,而是表示 (a>0,b>0,r∈Q) 81的4次方根里正的那个,要注意区别,③错误; (x+y)2是正数或0,故√(x+y)=|x+y1,④正3(1)计算:2 27 2 确;由题意知x-2<0,故√(x-2)+(√x-√2)3 (2)化简:6ab6×(-3ab)÷(4ab) x-2|+x-2=2-x+x-2=2-2,⑤正确 解」(1)原式 知识点 双重根式的化简 形如√m±2/n(m>0,n>0)的双重根式,一般是将 (2)原式 其转化为√(√a±√b)2的形式后再化简.由于(a )2=a+b±2√ab,所以转化的方法就是求出a,b使24÷b-3×a 学典中典数学·必修第一册·RA 知识点22 注意这一题运用了乘法公式中的立方差公式:a3 化简求值的常用方法和技巧 b3=(a-b)(a2+ab+b2) (1)常用的变换方法有 要点3含条件的求值问题 ①遇到小数全部化成分数,根式全部化成分数指数幂; ②若指数是负数,则对调底数的分子和分母并将负 知识 指数化为正指数; a+a型的计算 ③把分数指数幂、负指数幂看成一个整体,借助整式 中的乘法公式及因式分解进行变形 已知a+a的值的计算题型,一般通过平方(a+ (2)化简分式的方法和技巧 1)2=a2+a-2+2可以得到a2+a2的值,再根据a2+ ①把分子分母因式分解,可约分的先约分 a-2-2=(a-a-1)2可以得到a-a的值(此步骤涉及 ②利用分式的基本性质化繁分式为简分式,化异分开方有可能会出现两解,具体题型具体分析),有了a+ 母为同分母 a-和a-a1,又可以去求a2-a-2,此时如果要求a3士 ③把适当的几个分式先化简,各个击破; a-3,可根据a3±a-3=(a±a-1)(a2+1+a-2)求得 ④用换元法,使分式简化 例5已知2+2=a(常数),求8+8-“的值 D已b,化前,1+2m(圈+8=2+22+21+2 注意涉及立方的公式补充如下 立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 解〕原式= 立方差公式 完全立方公式:(a+b) 4.2指数函数 要点1指数函数的单调性 知识点1.1 指数幂的大小比较 答案 在进行指数式 1)底相同,括数不同利用指数函数的单调性解框“=2,“=2“,()一2,根据y=2 在R上为增函数,可得21>215>214→43 (2)底数不同、指数相同:利用指数函数的图象解决 >88,故a>c>b,选 在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象,依据底 数a对指数函数图象的影响在y轴右侧,从x轴开始的注意这种底数有某种特殊关系的式子可以化简为底数 下往上观察,底数在逐渐增大,然后观察指数所取的值对同的指数式,然后根据函数的单调性判断大小关系 应的函数值即可 知识点12 指数不等式 (3)底数不同、指数也不同:采用介值法(取中 解指数不等式问题时需注意以下几点 量),常用1作为中间量,或者以其中一个指数式的底数 ①形如a>a的不等式,借助于函数y=a的单调 为底数,以另一个指数式的指数为指数.如:要比较a与 性求解,如果a的取值不确定,需分a>1