专题04 平面向量-2021年高考数学（理）总复习知识点总结

专题04 平面向量 平面向量 重要概念 向量 既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 向量 长度为0，方向任意的向量。【与任一非零向共线】 平行向量 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是，的夹角记为。 投影 叫做在方向上的投影。【注意：投影是数量】。 重要法则定理 基本定理 不共线，存在唯一的实数对，使若为轴上的单位正交向量，就是向量的坐标。 一般表示 坐标表示 共线条件 ， 垂直条件 各种运算 加法运算 法则 的平行四边形法则、三角形法则 算律 与加法运算有同样的坐标表示。 减法运算 法则 的三角形法则。 分解 数乘运算 概念 为向量，方向相同。 方向相反，。 算律 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量积运算 概念 主要性质 算律 与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标表示方法。 线段定比分点的向量表达式 在中，若点是边上的点，且，则向量 ，当时，变为中线向量。 三点共线定理 平面内三点共线的充要条件是：存在实数使，其中，为平面内任意一点。 向量与三角形的 四心 1. 是的重心（其中三边），且，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。为所在平面内任一点，为重心。 1. 若为所在平面内一点，则 的外心。 1. 若为所在平面内的一点，则是的重心。 1. 若点为所在平面内一点，则 的内心。 1. 的外心，垂心，重心，则 1. 为内一点，若 1. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角两边对应成比例。逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。 【变式】 若存在常数，满足，则点可能通过的内心。 若点是的底边上的中点，满足，则点可能通过的外心。 若存在常数是，满足，则点可能通过的填重心。 若存在常数，满足，则点可能通过的垂心。 高考真题 1.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科，15）设为单位向量，且，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】 整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 2.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷二（理科，13）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷三（理科，6）已知向量 ，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 4.2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 5.2020 年普通高等学校招生全国统一考试（海南）.在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 6.2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）.在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________． 【答案】 【解析