第一章 重点突破训练：特殊平行四边形的证明与计算-简单数学之2020-2021学年九年级上册同步讲练（北师大版）

第一章 重点突破训练：特殊平行四边形的证明与计算 考点体系 考点1：特殊平行四边形性质与判定的综合应用 典例：（2020·北京密云初二期末）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别与AC、BC、AD交于点O、E、F，连接AE和CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB= ，BC=3，求菱形AECF的边长． 方法或规律点拨 本题考查了线段垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质以及勾股定理等知识，能综合运用以上知识进行推理是解此题的关键． 巩固练习 1．（2020·宁夏盐池初二期中）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连接CE、CF、OE、OF． （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF正方形？请说明理由． 2．（2020·湖北潜江初二期末）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形． 3．（2018·内蒙古杭锦后旗初二期中）（1）如图矩形的对角线、交于点，过点作，且，连接，判断四边形的形状并说明理由． （2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由． （3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 4．（2018·河南嵩县初二期末）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF. (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积． 5．（2020·云南昭阳初二期中）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 6．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初二月考）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD． （1）求证：AB=AF； （2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论． 考点2：利用特殊四边形性质探究几何量 典例：（2020·江苏鼓楼初二期末）已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF． 提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题： （1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系： ； （2）然后考察点E的一般位置，分两种情况： 情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时； 情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时． 在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由； 拓展问题： （3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系： ． 方法或规律点拨 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 巩固练习 1．（2020·安徽肥东初二期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F，已知AB=3，AD=4，随着点P的运动，关于PE+PF的值，下面说法正确的是（ ） A．先增大，后减小 B．先减小，后增大 C．始终等于2.4 D．始终等于3 2．（2020·山东德州初二期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G． (1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是　 　； (2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明； (3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数． 3．（2020·四川龙泉驿初一期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝9