专题05 函数的单调性与最值-2021年高考数学函数与导数大通关（新高考地区专用）

专题05 函数的单调性与最值 考情分析：函数的单调性与最值一直是高考的热点，在有关函数大题中，常与函数的奇偶性，极值等知识一起综合考察，在小题中出现的形式更灵活。单调性与最值的几何意义也时常出现，这种题的解决往往需要一定技巧。 名师讲堂 复习： 按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像. 图像在轴的右侧部分是上升的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有<.这时就说函数=在[0,+ )上是增函数. 图像在轴的左侧部分是下降的，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取∈[0，+)，得到,,那么当<时，有。这时就说函数=在[0,+ )上是减函数. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)， 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数 图象 描述 在单调区间上增函数的图象是上升的 在单调区间上减函数的图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 注意： （1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 （4）若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为在区间上是增（减）函数. 例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数. （3）用定义法判断函数的单调性： ①定义域取值；任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差；作差f(x1)－f(x2)； ③变形；通常是因式分解和配方； ④定符号；即判断差f(x1)－f(x2)的正负 ⑤下结论．指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性 例1 证明函数在(0,+)上是减函数. 举一反三：讨论函数在[-1,0]的单调性. 2.基本函数的单调性 例2：讨论函数在(-2,2)内的单调性. 解：∵，对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数； 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数. 3.判断函数的单调性的常见结论 ①设任意x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，那么 ⇔f(x)在[a，b]上是增函数； ⇔f(x)在[a，b]上是减函数 ②设任意x1，x2∈[a，b]，那么 ⇔f(x)在[a，b]上是增函数； ⇔f(x)在[a，b]上是减函数． ③ (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 【梳理·总结】 （1）函数与的单调性相反； （2）当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反； （3）函数与函数（为常数）的单调性相同； （4）当（为常数）时，与的单调性相同；当（为常数）时，与的单调性相反； （5）函数、都是增（减）函数，则仍是增（减）函数； （6）若且与都是增（减）函数，则也是增（减）函数；若且与都是增（减）函数，则也是减（增）函数； （7）设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数. 4. 关于分段函数的单调性 (1)若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件: (2)若函数,在区间上是减函数, 在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件: 例3：已知函数若对任意x1，x2，都有成立，则实数a的取值范围是( ) A．(0,] B．(0,1) C．[,1) D．(0,3) 5.复合函数的单调性：同增异减 设复合函数y=f(g(x)),A是y=f(g(x))定义域内的某个区间，B是u=g(x)的值域。 1） 若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f(g(x))在A上是增函数。 2） 若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是减（或增）函数，则函数y=f(g(x))在A上是减函数。 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 例4：f(x)=(a且a在上是减函数