第2讲 一元二次不等式-2021年高考数学一轮复习讲义（上海专用）

第2讲 一元二次不等式 知识概要 1.解不等式的概念： 定义：设 都为实数，并且 ，我们规定： (1)满足不等式 的解集，即集合 ，叫做闭区间，记作 . (2)满足不等式 的解集，即集合 ，叫做开区间，记作 . (3)满足不等式 或 的解集，即集合 或 ，叫做半开半闭区间，记作 或 . 在上述所有区间中， 叫做区间的端点，以后我们可以用区间来表示不等式的解集. (4)把实数集 表示为 ，把集合 、 、 和 分别用区间 、 、 和 表示， 与 也叫区间的端点；“ ”读作“正无穷大”，“ ”读作“负无穷大”. 定义：(不等式解集)使 (或 )成立的 的集合，叫做 (或 )的解集. 定义：(同解不等式)如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式叫同解不等式. 定义：(不等式的同解变形)一个不等式(根据不等式的性质)变形为与它同解的不等式，这样的变形称为不等式的同解变形. 我们把不等式（如 ， ， , ）的左右两边未知数 的公共取值范围称为不等式的 的允许值集. (1)定理1 不等式 与 同解. (2)定理2 不等式 与 同解. (3)定理3 (i)当常数 时，不等式 与不等式 同解. (ii)当常数 时 不等式 与不等式 同解. (4)定理4 不等式 与不等式 同解. (5)定理5 当 与 在不等式 的 的允许值集上都恒正时，不等式 与 EMBED Equation.DSMT4 为正整数 同解. 2.一元二次不等式： 定义：一个不等式中，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次为二次，这样的不等式叫做一元二次不等式. 解集：解一元二次不等式 (“ ”可以换成“ ”、“ ”或“ ”)时，不放设 (否则两边同乘以-1)。记方程 的判别式为 ， 时，两个实根为 ，且 .各种类型不等式的解集如下表： 的根的判别式 ( ) 的图像 3.一元二次方程的实根分布理论： 设一元二次方程 对应的二次函数是 ，常数 ， ，且 ． 【定理1】方程 的两实根都小于 EMBED Equation.DSMT4 ； 【定理2】方程 的两实根都大于 EMBED Equation.DSMT4 ； 【定理3】