第4讲 基本不等式及其应用-2021年高考数学一轮复习讲义（上海专用）

第4讲 基本不等式及其应用 授课类型 同步：基本不等式 专题：基本不等式的应用 能力：提高逻辑思维能力 教学重点、难点 通过实例引入并导出两个基本不等式，并给出几何解释；利用基本不等式证明简单不等式；利用基本不等式求有关问题的最大值或最小值. 教学目标 利用实数的非负性导出基本不等式并导出相关的二元不等式，强化配方思想的应用；掌握基本不等式并会用于解决简单的问题. 授课日期及时段 教学内容 内容概要 1.基本不等式 (1)若 ，则 (当且仅当 时，等号成立) ； ； . (2)若 ，则 (当且仅当 时，等号成立) 即 (均值不等式) EMBED Equation.DSMT4 “一正、二定、三相等” 当乘积“ ”为定值时，和“ ”有最小值(当且仅当 时，等号成立)；当和“ ”为定值时，乘积“ ”有最大值(当且仅当 时，等号成立). (可以推广到 元的情形) 若 ，则 (当且仅当 时，等号成立) 若 ，则 (当且仅当 时，等号成立) 2.其他重要不等式 (1)若 ，则 (当且仅当 时，等号成立) (2)若 ， 同号，则 (当且仅当 时，等号成立) 经典题型精析 (一)不等式的证明 例1.设 都是正数，求证： . 提示：两两相加，运用基本不等式. 同步练习：设 都是正数，求证： . 提示：两两相加，先证 例2.设 都是正数，求证： . 同步练习1.设 ， ，求证：(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2.已知 ，求证： . 例3.设 都是正实数，求证： . 提示：先证 ，利用其展开结论，两两相加，再在不等式两边添加 即可证得结论. 例4.设 都是正实数，求证： . 提示：利用分母之和，考虑配凑. 同步练习：已知 ，求证： . 例5.求证：对所有正实数 ，有： . 提示：利用“ ” *例6.设 都是正实数，求证： . 提示：利用“ ”( )，先对要证的不等式进行适当的变形，然后通过待定系数法求出 ，即得要证的不等式. (二)最值的求解 例7.设 ，且 ，求 的最小值. 提示：利用“1”的代换 同步练习:已知 ， ，求 的最小值. 例8.已知 ，且 ，求