第3讲 函数的图象、周期性与对称性-2021年高考数学一轮复习讲义（上海专用）

第3讲 函数的图象、周期性与对称性 知识精要 1.函数的图象变换 (1)平移变换：若将 的图象沿 轴平移 ( 向左平移， 向右平移)个单位，则得到 的图象；若将 的图象沿 轴平移 ( 向上平移， 向下平移)个单位，则得到 的图象. (2)伸缩变换：函数 的图象可以通过将函数 的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变而得到；函数 的图象可以通过将函数 的图象上的各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变而得到． (3)对称变换： 与 的图象关于 轴成轴对称图形； 与 的图象关于 轴成轴对称图形； 与 的图象关于原点成中心对称图形； 与 的图象关于 对称．若保留 图象中 轴上方的部分，而将位于 轴下方的部分以它关于 轴对称的图形代替，则可得到 ； 的图象由 的图象则可由偶函数的对称性得到. 2.函数的周期性与对称性 (1)周期性：对于函数 EMBED Equation.DSMT4 ，如果存在一个非零常数 ，使得对于 定义域内任意 ，都有 ，那么这个函数 叫做周期函数，常数 叫做函数 的周期.对于每一个周期函数来说，它的周期有无穷多个.对于周期函数 ，如果在其所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期.关于周期性有以下几个重要结论： ①“对恒成立”等价于“函数有一个周期”；②“有两条对称轴，”可推出“函数有一个周期”。③“对，函数关于直线 和点对称”，可推出“函数 有一个周期”；④“对，函数关于点和点成中心对称”，可推出“函数 有一个周期”；⑤函数是以为最小正周期的周期函数 是以为最小正周期的周期函数；⑥设与定义在公共集合上，且分别是以、为正周期的周期函数，(、为互质的正整数 ，则，，均是以为周期的周期函数. (2)对称性：对称性是函数的重要性质，例如函数的奇偶性就是一种特殊的对称。此类问题考察形式如下：①将对称性与周期性相综合，考察单调性、零点个数；②求函数关于某点(或某直线)对称的曲线。此类问题有一些需要掌握的常见结论： ①对恒成立”等价于“函数图像关于对称； ②对恒成立”等价于“函数图像关于点成中心对称。 经典题型精讲 (一)函数的图象 例1.作出下列函数的图象： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 举一反三1