专题03 函数的值域-2021年高考数学函数与导数大通关（新高考地区专用）

专题03 函数的值域 考情分析：函数的值域问题经常与函数的最值联系在一起，难度较大，需在复习中加强训练。常见求最值的方法需要熟练掌握，是解决函数问题的关键。 名师讲堂 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法（共11种） 1. 直 接 观 察 法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1） 一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R； 2） 二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ； 3） 反比例函数的值域：y≠0 ； 4） 指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R； 5） 正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R； 例1. 求函 数的值 域。 例2. 求 函 数的值 域。 2. 配 方 法 配 方 法是 求 二 次 函 数 值 域 最 基 本 的 方 法 之 一。将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． 对于二次函数,⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当时，其最小值； ②当a<0时，则当时，其最大值 ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值 (3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； (4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论 例3. 求函 数的值 域。 3.判 别 式 法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值． 例4. 求 函 数的 值 域。 例5. 求函 数的值 域。 4. 反 函 数 法 直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时，可 以 通 过 求 其 原 函 数 的 定 义 域 来 确 定 原 函 数 的 值 域。 例6. 求 函 数值 域。 5.函 数 有 界 性 法：正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性） 直 接 求 函 数 的 值 域 困 难 时，可 以 利 用 已 学 过 函 数 的 有 界 性，反 客 为 主 来 确 定 函 数 的 值 域。 例7. 求函数的值域。 例8. 求函数的值域。 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。 例10. 求函数的值域。 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。 例12. 求函数的值域。 例13. 求函数的值域。 例14. 求函数，的值域。 例15. 求函数的值域。 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。 例17. 求函数的值域。 例18. 求函数的值域。 9. 不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。 例20. 求函数的值域。 10. 一一映射法 原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。 11. 多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。 例23. 求函数的值域。 限时训练 一．选择题 1. 已知函数=，则［（）］的值是( ) A.9 B. C. -9 D. - 2. 若集合,，则等于( ) A．{0}　　　 B．　 　　　 C．S　　　 D．T 3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是( ) A. B. C. D. 4. 定义在R上的函数的值域为［，b］,则的值域为( ) A.［,b］ B.［+1,b+1］ C.［－1,b－1］ D.无法确定 5. 函数y =的定义域是(-，1)[2,5]，则其值域是( )