12 《直线》重点知识梳理与典例深度剖析-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 点评:1.由倾斜角(或范国)求斜率(或范国)利用 定义式k=tanq(/90°)解决 由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k 又∵l1过点 ,-3a|b|4=0.(数兴) _y(x≠2)求解 ()()联立,解得a=2,b=2 此题川一般式较为方便,解:因为l 步及直线与线段有交点问题常通过数形结合 所以a(a-1)+(-b)×1=0 利用公式求解. 又因为L过(-3,1),从而得a=2 求直线的方程 12的斜率存在,l1∥12,∴直线h1的斜率存 例2(1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-1x在,k1=k,即4=1-a 的斜率的。的直线方程; 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l (2)求纤过点A(-5,2),月在x轴上的截距等于∥l2, 在y轴上的截距的2倍的直线方程 ∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,② 解析:(1)设所求直线的斜率为k 依题意k=-1 联立①②,解得{=2 又直线经过点4(1,3),因此所求直线方程为 (x-1),即Ax|3y-13=0 L 点评:(1)当直线方程中存在宇母参数时,不仅要 (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为+考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在 =1,将(-5,2)代入所设方程,解得a 的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零 这一隐含条件,当直线方程为一般式时,用A1A2+ 所以自线方程为x+2y+1=0 B1B2= 当直线过原点时,设直线方程为y=kx则一5 (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直 =2,解得k 线方程的系数间的关系得出结 1.两直线的交点与距离问题 x,即2x+5y=0 例4(1)已知直线y=kx+2k+1与直线y 故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1= x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范 点评:在求直线方程时,应先选择适当的直线方围是 程的形式,并注意各种形式的适用条件若采用截距围是 式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜 (2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点 先考虑斜率不存在的情况 B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为 y=kx+2k+1 两条直线的位置关 解析:(方法1)出方程组 例3已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a 1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值 (1)4⊥l2,且过点(一3,-1); 且坐标原点到这两条直线的距离 解得6k1 解析:(1)中已知可得l的斜率存在,且k2=1-a. 交点坐标为(2,中 若 则1a=0,a=1 Ak ∵l1⊥l,直线l1的斜率k1必不存在,即b +4=0,即a=4 又∵交点位于第一象限 又∵l过点(—3,—1) (矛盾),∴此种情况不存在 k2≠0,即k1,k2都存在且不为0 解得 方法2)如图,已知自线y 42 重点解析 撼学 1x+2与x轴、y轴分别交于点A(4,0),B(0,2) (2)利用距离公式应注意:①点P(xu,)到直线 而直线方程vk11可变形为y-1=k(x1x=a的距离d=|x-a|,到直线y=b的距离d= ),表小这是一条过定点P(-2,1),斜率为k的动直线 ②两平行线间的距离公式要把两直线方程 两直线的交点在第一象限,∴两直线的交点必 中x,y的系数化为相等 在线段AB上(包括端点) ∴动直线的斜率k需满足kA<k<kB 三、总结与反思 任何直线都存在倾斜角,但并不是任意直线都 k<2 有在斜卒.当倾斜角α为90直线斜率不有在 (2)(方法1)当直线l的斜率存在时,设直线l的 2.在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的 方程为y2=k(x+1),即kxy+k十2=0 形式,并注意爷种形式的适用条件.用斜截式及点斜 由题意知 3+k+2_」一4-5+k 式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐 标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经 即|31=1331,:k=1 过原点的直线故在解题时,若采用截距式,应注意分 类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虐 白线l的方程为 (x+1),即x+3y 斜率不存在的情况 截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负 当直线l的斜率不存在时,直线L的方程为 数,还可以为0,这是解题时容易忽略的 4.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合 1,也符合题意 故所求直线l的方程为x+3y5=0或x=1. 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1,l2,1∥l2 k1=k;1⊥l2台k1·k=-1,或有条直线的斜率不 (方法2)AB∥时,有k=kAB= 存在,力一条直线的斜率为 在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直 直线l的方程为y2=(x+1), 线的斜卒是否存在.若两条直线都有斜卒,可根据判 定理判断,若自线