13 《圆》重点知识梳理-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 撼学 圆》重点知祝梳理 □李文海 重点知识梳理 1.圆的定义与方程 过圆x2+y2=y2外一点M(x,%)作圆的两 定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆]条切线,则两切点所在自线方程为xxy= 5.求弦长的两种方法 标准 (1)利川两点间的距离公式 (弦长公式:√1+k2|x1-x2) 充要条件:L)|E2-4(0 )利川半径、半弦和圆心到直线的垂线段构成 程一般x2-y2+Dx-Ey圆心坐标:(-2,-2) 的直角三角形(垂径定理:2 方程 6.与圆的位置关系 半径r=√+P-4F 设圆O 十( 注:确定圆的方程的常用方法:待定系数法, 圆O:(x-a2)2+(y-2)2=n(>0) 求解步骤:(1)根据题意,选择标准方程或一般 兀何活;心距d 代数法:联立两圆 与n:r2的关 方程组成方程组的 (2根据条件列出关于a,b,或D,EF的方关系 解的情况 程纠. (3)解出a,b,或 外离 解 代入标准方程或一般 外切 一组实数解 方程 点与圆的位置关系 相交 <d<n1+r两組不同的实数屏 点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程 内切d-n1(n1≠n 一組实数解 内含 无解 (1)点在圆上 圆与圆的位置关系的常用结论 (2)点在圆外:(x0-a)2+(-b)2 (1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含 (3)点在圆内:(x-a)2+(%-b)2<n3 条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离 3判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半 2)当两圆相交时,两圆方程(x2,y2项系数相同) 径r的大小关系 相减便可得公共弦所在直线的方程 d<相交;d=相切;c>f和离. 典型例题分析 (2)代数法:判别 相切 题型一求圆的方程 0÷相离 例1在平面直角坐标系xOy,山线y 直线与圆的位置关系常用结论 6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,求圆C的方程 (1)过圆x3y2=y2上一点P(x,%)的圆的切 解析:(代数法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交 线方程为x0x+ 与x轴的交点为(3+2√2,0) (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=y2上点P( ),设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D+E 的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y-b)(y-b) 1F>0), 重点解析 撼学 的距离公式,得 √3,即b=-2±6 则有(3+2√2)2+D(3+2√2)+F=0 (3-2√2)2+D(3-2√2)+F 故 6. (3)x2+y2衣小圆上的·点 解得{E 与原点距离的平方,由平面几何 知识知,在原点和圆心连线与圆 故圆的方程是x2|y 的两个交点处取得最大值和最 (几何法)山线 6x+1与y轴的交点为小值(如图 1),与x轴的交点为( 0),(3-2 故 又因为圆心到原点的距离 可设C的圆心为(3,t),则有32+(t1)2=(2√2)2+ t,解得t=1 所以x2+y2的最大值是(2+3)=7+43, 则圆C的半径为√3+(t-1)=3 十y2的最小值为(2-、 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 点评:与圆有关的最值河题的常见类型及解题 点评:求圆方程的 法 策略 (1)直接法;根据圓的几何性质,直接求出圆心坐 (1)与圓有关的长度或距离的最值问题的解法 标和半径,进而写出方程 般根据长度或距离的几何意义,利用阃的几何性质 )待定系数 数形结合求解 ①若已知条件与圆心(a,b)和半径〃有关,则设 (2)与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类 的标准方程依据已知条件列出关于a,b,r的方程型及解法,①形如W=y“型的最值问题,可转化为 组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确給出圆心或半径,则选择过点(a,b)和点(x,y的直线的斜率的最值问题:②形 岡的一般方程,依据已知条件列出关于1、b、F的方 如=4x+by型的最值问题,可转化为动直线的截距 的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2型的最值河 程组,进而求出D、E、F的值 题,可转化为动点到定点(a,b)的距离平方的最值 题型二与圆有关的最值问题 问题 例2(1)已知实数x、y满足方程x2+ 题型三直线与圆的位置关系 1=0,求的最大值与最小值 例3(1)已知点M(a,b在圆O:x3十y2=1外 (2)求y-x的最小值和最大值 则直线ax+by=1与圆O的位置关系是 求x2+y2的最大值和最小值 2)若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y 解析:(1)如图,方程x 十kx+2y+k2-15=0相切,则实数k的取值泡围是 4x+1=0表示以点C(2,0为 圆心,以3为半径的圆 )已知方程x+anbm=0有两个不等实 设卫=k,即y=kx 根a