15 破解直线与圆的位置关系的策咯-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 数学 破解直线与圓蚋位置夭系的策晔 □杨惠琴陆东标 s 直线与圆的位置关系问题历米是高考的“常 二、借助数形结合 客”之一,考査方式多样,背景新颖创新.在破解直线 借助数形结合来破解直线与圆的位置关系问题 与圆的位置关系间题中,如何有效借助一此常用的技可以建立起直观模型,把相应的问题直观化,进而利 巧与策略来分析与处理问题,优化解题方法,开拓解用图形的直观性,数形结合而使问题获得巧解.数形 题思路本文结合几个破解直线与圆的位置关系问题结合,直观操作,简单易 屮常用策略加以实例剖析,以供大家参考 例2设实数x,y满足x2+(y-1)2=1,若对于 、利用平面几何性 不等式x+ 0恒成立,则实数c的取值范岜为 利用平面几何性质来破解直线与圆的位置关系 问题,可以有效凸现直线与圆之间的几何特征,借助 分析:结合题目糸件加以合理转化,把对应不等 直线的几何性质,圆的几何性质,对称以及勾股定理式的恒成方问题求解参数的值,转化为直线利圆的 等平面几何性质来破解是一些常见的思维方式 位置关系,借助数形结合来处理 例1已知圆O 5,A、B是圆O十异于解析:出于圆x2+(y-1)2=1+的点都适合不高 点P(1,2)的两点,若直线PA、PB所对应的倾斜角互等式x+ 即圆的点都在直线x+y+D=0 补,试判断直线AB的斜率是否为定值?若是定值,的上方 请求出该定值;若不是定值,请说叨理出 则知圆C:x2+(y-1)2=1应落在直线l:x+y+ 分析:通过结合平而几何中的对称性,通过平而D=0的上方区域,如图所示 几何的对称性质、圆的几何性质,并结合直线的斜率 当直线l:x+y+D=0与圆 公式以及两直线垂直的关系来转化,从而得以判断与C:x2+(y-1)2=1柑切,用在圆 确定札应的定值问题 C的下方 解析:出于直线PA、PB所对应的倾斜角互 出于圆C的半径为r=1,可 则知直线PA、PB与x轴围成一个等腰三角形, 得a=1+1+D==1,解得D=1+2 作点P(1,2)关」x轴的对 称点Q(1,-2)(点Q也在圆O 即x+y-1+2=0, 上),连接QQ 结合题目条件,可得c =√2-1,即c∈ 由」PQ平分∠APB,则知 [2-1,+<x),故填答案:L2-1,+ 点Q为弧AB的十点,结合圆的 点评:数形结合经常与解析儿何初步中的直线与 几何性质可得OQ⊥AB 圓的位置关系加以有机联系,借助数形结合,可以直 又点Q(1,-2),可得k 观处理涉及直线与网中的参数问题、位置关系判断以 及其他一些相关问题、教形结合巧应用,解几问题炒 为定值. 破解 点评:平面几何性质经常与解析几何初步中直线 、设置曲线系方程 的倾斜角、斜率、微距等概念,圆中的囻心、半径等元 设置曲线系方程,有效申联起直线与属的位置关 素之间存在一定的有机联系,充分挖掘相互之间的联系问题,形式简单易记忆,可以达到简化运算、快捷求 系,借助平面几何性质来解决直线与圆的位置关系问解的日的.灵活应用曲线系方程来处理问题是解析几 题,操作起来更为简单快捷,效果明显.几何性质巧应何中种重耍的解题方法和技巧 用,解几问题妙破解 例3口知圆C:x2+y2+x-6y+m=0与直线 解题方法 +2y-3=0的两个交点分别为 若以线段 由于OP⊥OQ,可得x1x2+Ⅵ1y2= PQ为直径的圆给过坐标原点,则实数m的值为 +6c+ c2十2c+1=0,解得 满足Δ 析:结合题目条件设出满足条件的山线系方 程,根据条件知圆心D在直线x+2y3=0上友圆D 所以实数c的值为-1,妝填答案:-1. 过坐标原点,进而建立相应的方程纠,得以求解参 点评:设而不求经常在直线与圆的位置关系问题 数m的值 中出现,借助方程、不等式等的应用来转化与处理.本 解析:设所求圆的方程为 题中借助垂直关系,根据根与系数的关系,結合平面 向量的数量积等,整体代入,设而不求,很好达到解决 即圆D:x2+y2+(A+1)x+(2A6)y+(m3入)=0, 问题的目的设而不求巧应用,解几问题妙破解 五、合理构造模型 配方可得该圆的圆心为1(-^,,3-入) 合理构造模型,批有关直线或圆的问题加以转 合条件知圆心1)在直线x+2y-3=0上及圆化,转化为直线与圆的位置关系问题,再借助直线与 圆的位置关系米分析与处理.构造模型法不仅有“化 D经过坐标原点,则有 繁为简”“化难为易”之作用,甚至可能收到“柳暗花 明”使难题迎刃而解之奇效 解得 妝填答案 例5已知实数x,y满足同C的方程(x-1)2 1)2=2,则x-y+6的最小值是 点评:曲线系方程经常与直线的方程、圆的方程 分析结合题目条件可知 以有机联系,借助曲线系方程的设置,简捷明快,有 效减少破解直线与圆的位置关系问题中的运箕量,提 高解题效益提升解颋遠度,曲线系方程巧