16 例说立体几何问题的转化策略-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 数学 例说丘体几何问题的转化策路 口高莉芳 转化思想贯穿立体几何的始终,是解决立体几何 评:(1)求空间几何体表面上两点间的距离 问题的基本思想方法.因此,学习立体儿何归根结底最小值,基本方法是将曲面展成平 利用平面上 就是学会转化,不会转化,求解立体几何问题小步难的性质:两点之间线段最短来处理;(2)求解球与棱 那么,立体几何屮的转化思想主要体现在哪此方柱、棱锥的挟、切闷问懸时,一般需过该球的球心,和相 面呢?本文举例说明 关的切点或接点作出截面,再在这个戳面上解决相关 立体问题平面化 问题,这是一砷降维处理的慼路,即把空间问题平 把立体几何问题向平面几何转化,即立体问题平面 而化,它是解决立体几何问题始终如一的原则.如立 几何问题代数化 体几何的最值问题,我们可将立体图形的侧面展平, 数学中的计算问题离不开列代数式,立体几何计 将它变成平面几何中的最值问题;而对于那些与球有算问题也是如此,根据立体几何图形,或列出方程,或 关的内切,外接问题,则考虑转化为平面几何中与圆建立函数关系,从而将形的问题转化为数的问题 有关的相切或相接问题 例2(1)如果把个圆锥的侧血展开得到个高二 例1(1)有一根圆柱形铁管,它的长为3x厘米,半圆面,它的而积是2x,那么这个圆锥的体积是 底面的半径为1厘米,现在用一根细铜丝在铁管上绕 两圈,并且使细铜丝的两个端点都落在该圆柱的同 (2)已知 P-ABCD是四校锥,且它的底恤是正方 条母线的两端,则细铜丝的最短长度是 厘米形,该正方形的边长为6,豆满足PA=PB 2)三棱柱ABC1B1C1是直棱柱,它的六个顶PD,如果这个四棱锥内有个半径为1的球,并且该 点均在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,球与这个四棱锥的五个面均相切,试求该四棱锥 AA=12,则该球的直径是 的高 解析:(1)把圆柱的侧面及缠 解析:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为 绕其上的细铜丝展开,就可得到 矩形ABCD(如图),由题意知 h,则 解得 于是圆锥的高 3x厘米,AB=1厘米,点A与 点C分别足铁丝的起、止位置,故线段AC的长度即 3所以圆锥的体积v=3xh=3 是铁丝的最短长度AC=√AB2+BC2=5丌(匠米),故 细铜丝的最短长度为5m厘米 (2)根据题意,四棱锥PABD是一个正四棱 2)如图所示,过球心O作平8K= 锥,它思维内接球的球心O刚好位 面ABC的垂线,则垂足为BC的 于四技锥的高PH上,于是可经过 正四棱锥的高作出这两个组合体 中点M,又△M=BC= 的轴截面(如图),图中的PE,PF 分别是侧面等腰三角形的斜高 足球面与侧面相切的切点若设 故球O的自径2R=20A=2√(2)162 PH=h,则有Rt△PORt△PHF,所 即1=b二1,解得h=9,故四棱伴的高是9 53 解题方法 撼学 点评:本题要求圆锥的体积和棱锥的高,必须先系,都是经过直线与直线之间的平行或垂直关系转化 将其转化为平面图形,并找出图形中各个几何量之间的,这种转化为“降维”平行与垂直的思想方法,在解 的关系,依据这些关系布列方程组,并解之,从而求出题时‖常重要.在处理实际问题的过程中,可以先从 欲求的几何量,充分体现了立体几何计算问题离不开题目屮的已知条件入于,通过分析我到已有的平行或 代数运算 乖自关系,雨从要证的结论入手分析,找到必须先 三、不规则图形常规化 以证明的平行或垂直关系,从而架起连接已知与未知 有此全间几何体虽然不是常见的几何体,但通过之间的“桥梁”在证明平行与乖白的关系时,我们要 遇当“割补”,可以将它转化为常规的简单几何体,这学会熟练应用“直线与直线平行(垂直)→直线与平面 类问题常常出现在体积的讨算问题中 平行(垂直)平面与平面平行(垂直)”,并学会双向 例3(1)如图所小,有一个圆 转化. 柱被一个平而所截,被截之后的几 例4如图,三棱柱ABCA1B1C1是直棱杜,AA1 何体的最长侧面母线的长是4,而 AC=2AB=2,且BC⊥A1C. 最短侧而的母线的长是1,并且 知员柱底面的半径长是2,那么该 (1)求证:平面ABC⊥平面M 几何体的体积等于 2)设1是A1C1的中点,问 (2)四而体SABC三纠对棱分别相等,旦依次为在线段BB1上是否存在点E,使 1)∥平面ABC?如果仔在,请B 13,5,则四面体的体积为 求出三棱锥EABC的体积;如果不有在,请说叨 解析:(1)如右图所示,将与上 图完全相同的几何体倒个儿扣在囗 知的几何体上,于足两个几何体拼 解析:(1)证明:在直三棱柱ABCA1BC1中,有 AA⊥平面ABC,∴AA⊥AC,又A1A=AC,四边形 在起就组成个高为5的完整 圆柱,于是所求几何体的体积等于 ACCA为正方形,∴AC⊥AC1 该大圆柱体积的二分之 又