17 圆的典型题型归纳-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 圆的典型题归 □王德军 圆是解析几何内容的重要组成部分,也是新课标 即(D一E)+56=2(D2+E-4F) 要求同学们掌握的重点知识圆的方程、圆心坐标、半 径、圆的性质等是考查圆的最常涉反的要素,由于其 又圆 在直线 综合性强,所以它是同学们学习和教师教学的难点 圆的知识的掌握程度也影响着圆锥曲线的学习.本文 联立④⑤⑨,解得 就圆的札关典型阿题作一整理,不当之处,请多指不 D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1 求圆的方程 枚所求圆的方程是x2y2-2x-6y|1=0 例1求与x轴朴切,园心在直线3x-y=0上, 点评;求圆的方程的两种方法 且被直线x-y=0截得的弦长为2√7的圆的方程 解:法一:设所求的圆的方程是 求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的 (xa)2+(yb) 程,一般来说,求圆的方程有两种方法 ①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基高 则圆心(a,到直线xy=0的距离为1后,本量 ⑨代数法,设出圆的方程,用待定系数法求解 若条件中圓心坐标明确时,常设为國的标准方 即2r2=(a-b)2+14 程,不明确时,常设为一般方程 于所求的圆与x轴相切 变式训练:求下列圆的方程 又囚为所求圆心在直线 (1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y =0相切于点P 联立①②③,解得a=1,b 9或 (2)过三点A(1,12),B(7,10),C(9,2) 解:(1)法·:设圆的标准方程为 故所求的园的方程是 [r c 1)2+ 9或(x+1)2+(y 法二:设所求的圆的方程是 则有 (3-a)2+(-2-b) 圆心为D ),半径为√D+ F y=0,得x2+Dx+F=0 解得a=1,b 由圆与x轴相切,得△=0,即1=4F.④ 所求圆的方程为(x-1)2|(y 法二:过切点且与x+y-1=0垂直的直线为 B)到直线x-y=0的距离为 与y=4x联立可得圆心为(1,4) 所以半径r=√(1-3)2(-4十2)2=22 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4) 由已知,得 (2)法一:设圆的一般方程为 x y=l Dx EyIF' 55 解题方法 (a,b)与网上的动点(x,y)的斜率的最值问题 则〈49+100+7D+10E+F=0 2)形如=ax+by型的最值问题,可转化为动 1+4-9I+2E+F=0 直线的截距的最值问题 解得D=-2,}=-4,F=-9 (3)形如(x-a)3十(y—b)2型的最值问题,可转 所以所求圆的方程为x2 化为动点到定点的距离的最值问题 法二:十A(1,12),H(7,10)得AB的中点坐标为 变式训练:1.巾方程x十y+x+(m-1)y (4,11),kAB= bm2=0所确定的圆中,最大面积是多少? 则AB的中垂线方程为3x-y-1=0 解:由题意知, 同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0 联立 得 即圆心坐标为(1,2) 所以当m=1时,=4 所以S 所以所求圆的方程为(x-1)2|(y-2)2=10 与圆有关的最值问题 2.已知圆C通过不同的三点P(m,0),Q(2,0) 例2已知实数x、y满足方程x2+ R(0,1),且CP的斜率为 (1)试求圆C的方程 2)过原点O作两条可相垂直的直线ll2,且l1 (1)的最大值和最小值 交圆C于E,F两点,交圆C于G,H两点,求四边形 (2)y-x的最大值和最小值 F(FH亩积的最大值 (3)x2+y的最大值和最小值 解:(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 解:(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以则C点的坐标为(一D,一E),且PC的斜率为-1 2)为圆心,3为半径的圆,x的几何意义是圆上 点与惊点连线的斜率,所以设戈=k,即y=kx 所以_D-m 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最 因为圆C通过不同的三点P(m,0),Q(2,0 小值,此时 =√3,解得k=±√3. R(,1),所以4+2D+F=0,③ 所以2的最大值为,最小值为一3 m?2+Dm+F=0.④ (2)y-x可看作是直线y=xb在y轴上的截 距,当自线y=x十b与圆相切时,纵截距b取得最大 联立①⑨③④,解得 值或最小值,此时20+b=3,解得b=-2±6 所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-√6. 所以圆C的方程为x2+y2+x+5y-6=0 3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方 即(x+b)+(y 由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交 点处取得最大值和最小值 (2)圆心C的坐标为( 员心到 又圆心到原点的距离为(2-0)+(0=0)=2,的距离设为4,则+=Ox=2 的最大值是(2+√3 x2|y2的最小值是(2-/3)2=7-4√3. 又(-。)十4 点评:与圆有