18 直线与圆位置关系问题的求解策咯-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 数学 利用曲线系 则圆C的半径为√32+(t-1)= 例5求过直线x+2y-2=0和圆x2+y-2℃ 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9 +1=0的交点,且经过原点的圆的方程 (2)设A(x;w),H(z,y),其坐标满足方程组 解析:若先求出交点再列式子求圆的方程,则运 算量较大可运用山线系方程来解决:因为所求的圆 经过直线和已知圆的交点,设所求圆的方程为 消去y,得方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0 由已知可得,判别式△=5616a4a2>0 由于此圆过原点,将x=0,y=0代入方程得 从而x1+x2=4-a,xx2= 由于OA⊥OB,可得xx2+y 所以圆的方程为:x2+y 所以2xx2+a(x1+x2)+a2=0.② 评注:利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半 由①②得a=-1,满足△>0,故a=-1 功倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的 评注:本解答采用了对直线与圆的交点“设而不 解题方法和技 求”的解法技巧,由于“OA⊥O,"即等价于 例6求与圆M:3+y=2x相外切,并且与直 行以最终应考虑用韦达定理来求a.另外, G相切于点A 3)的圆的方程 在使用“设而不求”的技巧时,需注意这样的交点是否 解析:将A( 看作圆(x-3)2+(y)2存在 例8已知国C:x2+y2=3(>)经过点(1,3) 斤求圆即为过此圆与直线x+3y=0交点的圆 (1)求圆C的方程; 它与圆M相外切. (2)是否存在经过点(-1,1)的自线l,它与圆C 设所求圆C的方程为 相交于AB两个不同点且满足关系=O+ (x-3)2+(y+3)2+A(x+3y)=0 3O(0为坐标原点)的点M也在圆C上?如果存 即为x(3 在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理巾 因为圆C与圆M相外切,M为 解析:(1)由圆C:x2+y2=y2,再由点(1,3)在圆 (x-1)2+y2=1 C上,得p2=12 A)=|A| 所以圆C的方程为x2+y2=4 假设直线存在,设A 化简即A+6=2|A|,解得A=-2或A=6 代入假设方程式得圆C的方程为 M(x,%) 或 若直线l的斜率存在,设直线的方程为 评注:此例充分运用了将点看作半径为0的网 即点回),应加以注意 联立 消去y得 四、设而不求 (1+k2) (R十1)x+k2+2 例7在平面直角坐标系xO中,山线y=x2 由达定理得 6x+1与坐标轴的交点都在圆C上 (1)求圆C的方程 2)若圆C与直线xy+a=0交」A,B两点, 且OA⊥OB,求a的值 解析:(1)曲线y=x2-6x|1与y轴的交点为 yy=kxm2+k(k+1)(n+x2)+(k+1) (0,1),与x轴的交点为(3+2√2,0),(32√2,0) 故可设C的圆心为(3,t 因为点A(x1,y),B(x2,y)在圆C上,囚此,得 则有3+(-1)2=(2√2 解得t=1 59