19 寻找失去的“隐圆”-（数学部分）-2020年5-6月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 享找失去的隐圆 口冯永文 数学解题的关鍵是善于挖掘已知条件的“内涵”, 评注:从本例可以看出,有时“隐圓”会隐藏在题 即所谓的隐含条件,并为我所用.在某些解析儿何问中欲求点的轨迹中,求出了这个圆的方程,原问题就 题中,虽然表面上口知条件似乎与圆无关,但深挖下迎刃而解了 去,圆便会“浮用水面”,此圆俗称“隐圆”在解有关问 三、当存在两点到已知点距离都等于某个 题时,这个“隐团”举足轻重,它能帮助我们打井解题值时 思路,直达成功彼岸.那么“隐圆”在哪里呢?我们一 起去寻找 例3若圆(xa)2+(y+2)2=4总存在两个 点到原点的距离为1,则实数a的取值范围足 当张角为钝角时 解析:到原点的距离为1的图形是以原点为圆心 例1已知点A(-1,1),B(5,-)和直线l:x+半径1的圆,即x21y2=1,这就是本题的“隐圆”存 7=0.设P(xo,y)是直线l上的个点若以P在两个点满足题意,即两圆有两个交点 为顶点的张角∠APB为钝角,则x0的取值范豳是 因为两圆的圆心距d=√a2+4,又两园相交枚高 有|n1-r2|<c 解析:若AB为圆的直径,P(PeAB)为圆内 即1<√a2+4<3→>-√5<a≤√ 点,则张角∠APB为钝角.于足本题可转化为点与圆 的位置关系间题,本题中的“隐圆”就是点A(-1,4) 故实数a的取值范围是(√5,5). B(5,4为直径的圆C:(x2)2+y2=25,因为以P 评注:从本题对的解答过程中可以看出,本题本 为顶点的张角∠APB为钝角所以P(x0,y)位于圆质上是在考查我们圆与圆的位置关系,但必须先识破 内,于是有 25,即(x0-2)2题中的“隐圆 7-x)2<25,解得2<x<7,所以x的取值范围是 四、当两个定点到某直线的距离分别确定时 取值范围是(27 例4若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离 评注:以P为顶点的张角∠APB为直角时,P在依次为1和2则这样的直线有 以AB为直径的圓上;以I为顶点的张角∠AIB为 解析:如图,分别以A 锐角时,P在以AB为直径的国外 为圆心,1,2为半径作圆.依题 当题中关键点的轨迹可求时 意得,直线l是圆A的切线,A 例2在平面直角坐标系aOy中,点线ax+by+到的距离为1,直线Z也是圆 c=0被圆O:x2+y2=16截得的弦的中点为M,且满B的切线,B到l的距离为2, 足a+ 0,则OM的最大值是 所以直线l足两圆的公切线,共3条(2条外公切线,1 解析:求解本题的关健是找到点M的轨迹方程.条内公切线 巾百线l:ax+by+c=0,且满足a+2b-c=0 枚满足题意的直线有3条 知,直线l恒过定点P( 2),又M为圆O:x2+ 评注;本题已知条件中虽然没有直接出现圖,但 y2=16截得的弦的中点,于是巾圆的乖径定理得OM由题意并数形结合,把原问题转化为直线与圆、圆与 ⊥l,且垂足为M,所以点M的轨迹方程就是以OP为圆的位置关系问题 直径的圆,当M与P重合时OM的最人值就是这个 五、当动点到两个定点的距离之比为定值时 隐圆”的直径OP=√ 例5(1)在平面直角坐标系xy中,设点A(1,0) 故OM的最人值是⑤ (下转第74页)