13 圆的典型题型归纳（数学部分）-2020年7-8月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 的典型题型归纳 口王德军 圆是解析几何内容的重要组成部分,也是新课 即(DE)+56=2(D)2+E-4F)⑤ 要求同学们掌握的重点知识圆的方程、圆心坐标、半 又圆 )在直线3x 径、圆的性质等足考奁圆的基础知识时最常涉及的要 素,由于其综合性强,所以它是同学们学习和教师教 3D一E=0.⑥ 学的难点圆的知识掌握的程度也影响着其他圆锥曲 联立④⑤⑥,解得 线的学习.本文就圆的相关典型问题作一整理,不当 2,E=-6,F=1或D=2,E 之处,请多指正 故所求圆的方程是x2+y2-2x-6y+1=0 求圆的方程 例1求与x轴相切,园心在直线3xy=0上 点评:求圆的方程的两种方法: 求圓的方程时,应根据条件选用合适的國的方 且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程 程,一般来说,求圆的方程有两种方法 解:法一…设所求的圆的方程是 (x-a)2+ ①几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基 则园心(ab)到直线xy=0的距离为a-61 ②代数法,设出园的方程,用待定系数法求解 若条件中圓心坐标明确时,常设为圆的标准方 程,不明确时,常设为一般方程, 即2 变式训练 由于所求的圆与x轴相切,∴r2=b.② 求下列圆的方程 又因为所求圆心在直线3x-y=0上, (1)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1 相切于点P(3,-2); 联立①②③,解得a=1,b=3,n=9或a=-1 过三点A(1 解:(1)法一:设圆的标准方程为 故所求的圆的方程是 (x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+ 法二:设所求的圆的方程是 则有{(3a)2+( b)2=p2 圆心为(-D ),半径为√D十E一AF 令y=0,得x2+Dx+F=0 解得a=1,b 出圆与x轴相切,得△=0,即D=4F.④ 故所求园的方程为(x1)2+(y+4) 法二过切点且与x+y-1=0重直的自线为 又圆心( 到直 y=0的距离为 与y=-4x联立可得圆心为(1,4) 所以半径r=√(1-3)2+(-4+2)2=2√2. 计已知,得(2的 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8 2)法一:设圆的一般方程为 xI y=I D) xI EyI H 重点解析 撼学 三、与圆有关的轨迹问题 )求动点P的轨迹C的方程 例3匚知圆x+y=4上一定点A(2,0),B( (2)过直线l上一点D(D/M作曲线C的切线 为园内一点,P,Q为圆上的动点 切点为E,与x轴相交点为F,若D=功,求切线 (1)求线段AP中点的轨迹方程 DE的方程 (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ点的轨迹方程 解:(1)依题意,知M(4,0), 解:(1)设AP的中点为M(x,y),市中点坐标公 设P(x,y)(x≠0且x≠4) 式可知,P点坐标为(2x-2,2y) 因为P点在圆x21y2=1上 由PM⊥PO,得kM·kp 所以(2x-2)2+(2y) 故线段AP中点的轨迹方程为 整理得,动点P的轨迹C的方程为 (2)设PQ前中点为N(x,y)在R△PBQ中 x-2)2+y2= (2)DEDM都是圆(x2)2+y2=4的切线 设O为坐标原点,连接OA,则ON⊥PQ DE=DM 所以O|2=|ON|2+|PN|2=ON|2+|BN 所以x2+y2+(x-1)2+( 故线段PQ中点的轧迹方程为x2+ DEME 点评:求轨迹方程的一般步骤 设C(2,0),在△CEF中, (1)建系设点:建立平面直角坐标系,设动点坐标 为(x,y); CF=4,F(-2,0 (2)列式:列出几何等式; (3)坐标化:用坐标表示得到方 切线DE的倾斜伯a=或 (4)化简:化简几何等式得到的方程 (5)证明作答:除去不合题意的点,作 切线DE的斜率k=y2或 变式训练 已知直线l:x=4与x轴相交于点M,P是平面 切线DE的方程为y=±2(x+2) 上的动点,满足PM⊥P(X(O是坐标原点 (作者:王德军,南京师范大学第二附属高级中学) 入喻哟