17 正余弦定理复习导航（数学部分）-2020年7-8月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 ◎ ● 正余弦定理复习导航 口熊如佐 正余弦定理及其应用是高考的重要内容之一,仝确定,因此其解也可能不完仝确定.在解题时遇到 常与三角两数联系在一起,以止、余弦定哩为T其,通已知树边与其中一边对角的情况,应注意求 角 过三角恒等变换来解三角形或实际问题,以中档题的正弦值后,由于当正弦值在0与1之间时,对应的 角在0与180°之间有两个,可用“三角形内角和为 核心知识 180”“三角形中大边对的角也大”,或利用画图的 正弦定理 情况来判断解的情况 形式一:sA=mB=sinC=2R 难点破解 应川正弦定理、余弦定理实际运川是本节难点 形式 A=sinB=;nC=2R(角到遇到此类问题通常都是根据题意,从实际问题中抽象 出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到 边的转换 所要求的量,从而得到实际问题的解. 形式三:a=2R·sn,b=2R·sinB,c=2R sinC;(边到角的转换 解题时应认真读题,未给出图形的要画出实际事 示意图,结合图形去选择正弦定理、弦定理,使解题 形式四:S= absinc=2msnA=2“cinB过程简沽另外,对于实际间题的解,要注意题目中给 求三角形的面积) 出的精确度,合理地取近似值. 主要解决以下两类问题 运用正弦定理、氽弦定理解决几何计算问题又是 是已知两角和任一边,求其他两边和一角;(唯另一个难点,解题时要抓住条件、待求式子的特点恰 解);二足已知两边和其中一边的对角,求另一边的当地选择定理,运用正弦定理一般是将边转化为角 对角(从而进一步求出共他的边和角)若给出a,b,A 而条件屮给出三边的关系,往往考虑川余弦定理求角 那么解的个数为:无解(a<sinA);解(a=bn或 思想方法 者a≥ cosine):两解( bina<a<6) 转化思想:用余弦定理转化为边的关系侧重于 余弦定理 代数式的变形,用正弦定理转化为角的形式侧重」 式-:a2=b21a2-2b·osA,b=a2 角恒等变形.用正氽弦定理解题过程中实质就是边角 2ac cosB c-=a2+b2-2ab.cosc 转化的过稈 2.方程思想:方程思想是数学学习屮很重要的数 形式二:C4b3 ,c≈2|c2-b2 学思想,也足很重要的数学工具,正余弦定理都是以 方程形式体现,它们常与已知条件联立方程方程组, b(角到边的转换) 从而使问题获得解次 主要解决以下两类间题:是匚知三边,求 3.数思想:正余弦定哩都是等式关系,如果式 角(唯一解);二是已知两边和它们的夹角,求第三边子中只保留两个变量,此时等式就是所数关系式了 和其他两个角.(唯一解 这种通过建立函数关系式,再利用函数的性质研究问 错点提示 题的方法,我们在运用正余弦定理时经常遇到,简称 正弦定理解“已知两边及边的对角”这类型数思想方法 是本节的易错点在证明三角形仝等时,不能用两边 学习点睛 及一边的对角对应相等来证明三角形全等,这说明知 1.两定理的形式、内、证法及变形应用必须引 道了三角形的两边与一边的对角时,三角形可能不完起足够的重视,通过向量的数量积把三角形和三角 重点解析 数学 的关系,使问题得证, 所以 bcos= acos B,由正弦定理得,2 Rsinbcosa 四、边化角与角化边综合策略 2 Rsinacosb,所以sin(B-A)=0,又A,H为三角形 例6在∧ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的 内角,所以0≤A<<B<,所以A=B故△ABC对边,且2ain=(2b|c)siB(cb)sin 为等腰三角形 (1)求A的大小 解法二:设方程两根为x1,x2 试判断△ABC的形状 分析:对条件采用角化边措施得到边的关系, 出题意得bcos= acOs 用余弦定理化边为角得到角A,结合条件sinB+sinC 由余弦定理得 b2+c2 可判断△ABC的形状 b2+ +c262,即262=2a 由已知,根据正弦定理得 故△ABC是等腰三角形 26+c)6+(2c+6 即a2=b2+c2b 评注:有些问题既可用正弦定理求解又可用余弦 定理求解,但相应的问题中包含着不同的边角关系, 由余弦定理得a2=62+c2-2 accos 所以解题之前应进行仔细审核,再选择相应的定理进 故cxsA=-b,A=120° 行求解,以避免走弯路.具体措施是将条件转化为全 (2)由(1)得sin2A=sin2B+sinC+ sinsing 是角之间的关系或将条件转化为全是边之间的关 又sinB|sinc=1,得sinB=sin 例5在△ABC中,证明:a22+co22 因为0°< 故B=C=30° 所以△ABC是等腰的饨角:角形 分析:利川止弦定理把边化为角,通过角数 评注:判断三角形形状时,一般考虑两个方向进高 运算求证;利用余弦定理把角化为边,化简