10 导数知识很重要 常考题型早知道（数学部分）-2020年3月刊高三语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 导数知识很重要常考题型早知逍 □华腾飞 导数为研究函数的性质提供了更多的思路,用好 故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1) 异数这个有力的武器,可使一些复杂闻题变得简单起或y-(-1、N72x+2) 来.高考对这部分知识的考查多以导数的应用为主 如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题及切 即 2=0或5x+4y1=0 线问题或者利用导数解决不等式问题 点评:可以发现直线5x|4y-1=0并不以(1,-1 切线问题 为切点,实际上经过了点(1,—1)且以( 导数几何意义的考查一般分为三个层次:求山线切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必 在某点处的切线方程;执果索因,已知斜率或切线方是切点,求解此类河题可采用待定切点法 程求参数的值;求过某点(不一定足切点)的切线 二、函数的极值、最值问题 方程 解决此类问题要注意极值与最值的区别,最值要 例1若曲线y=kx+1nx在点(1,k)处的切线平在极值的基础上再与端点值比较得到 行于x轴,则 分析:由于切线的斜率就是在切点处的导数值 3若函数f(x)=(1-x2)(x2|ax|b)的图 所以本题只要求在点(1,k)处的导数,再令其值为0,象关于直线x=-2对称,则f(a)的最大值为 就能求出参数值 分析:首先利用函数的图象关于直线x=—2对 称解决参数a,b的值,然后再运用求导法解决所数 解:由y=kx+inx,得y=k+,因为曲线在点的最值 1,k)处的切线平行于x轴,则该切线的斜率为0.所 解:∵两数∫(x)=(1-x2)(x2|ax|b)的图象 关于直线x=—2对称,则f(0)=f(-4)且f(-1) 点评:导数的几何意义主要体现在与曲线的切线f=3,即有(=11 164a+b) 有关的问题上,这类问题比较简单,但题目的类型有 8(9-3a+.解b=15 多种,抓住“切线的斜率就是在切点处的导数值”就可 于是有f(x)=( 以明确解题方向 x-8x3-11x2|8x|15. 例2求过线y=x3-2x上的点(1,-1)的切 此时易验证f(2+x)=f(2-x),f(x)的图象关 线方程 x=2对称 分析:点(1,-1)可能是切点,也可能不是切点 (x)=-4x3-24x2-28x+8 而是直线与邮线的交点,此类问题一般可以设切点 4(x+2)(x+2+5)(x+2-/5) 求解 得 解:设P(x,y)为切点,则切线的斜率为 切线方程为y-y=( 0,即f(x)单调递增;当-2-5< 十√5时,f(x)<0,即f(x)单调递减 又知切线过点(1,1),代入上述方程 得-1-(x8-2x)=(3x2-2)(1-x 于是当x=-2-5与x=-2√时,两数f(x 取得极大值 解得 或 又由f(-2+5)=f(-2-5)=16,可知函数 22 重点解析 数学 f(x)的最大值为 k,最大值M=f( 点评:运用求导法是解决函数的极值和最值问题 点评:利用导数研究闭区间上的最值问题,一般 非常有效的手段,也可以根据函数有极值的情沉求相要注意据导函数符号进行分类讨论 关参数的值或范围,其中正确求岀并判断函的极值 、实际应用题 点是解题关键 例5某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 例4设函数f(x)=x3-kx2+x(∈R) 不计厚度).设该水池的底而半径为r米,高为h (1)当k=1时,求函数f(x)单调区间 (2)当k<0时,求函数f(x)在Lk,一k」上的最小米,体积为V立方米假设建造成木仅与表面积有关 侧而的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本 值m和最人值M. 为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000 分析:对于含有参数的问题,一般需根据参数的元(π为圆周率 范围来确定导数的符号. (1)将V表示成〃的函数(r),并求该函数的定 解析:(x)=3x2-2kx+ (1)当k=1时,f(x)=3x2-2x+1,△=4-12—义域 (2)讨论函数V(n)的单调性,并确定r与h为何 值时,该蓄水池的体积最大 ∴∫(x)在R上单调递增 分析:蓄水池的总建造成本包插两部分,即侧面 (2)当k<0时,f(x)=3x2-2kx+1,图象开凵 部分和底而部分,需要根据不同情况列式,同时必须 问上,对称轴为x=B,且过(O,1) 保证所求的长度在定义城内,这对下面运用导数解题 很重要 ①当△=42-12=4(k+3)(k一3)≤0 解:(1)∵蓄水池侧面的总成木为10 即-3≤k<0时,f(x)≥0, 底面的总成本为160 f(x)在Lk,一k」上单调递增,从而当x=k时 ∴菩水池的总成本为(200xh+160m2)元 f(x)取得最小值m=f(k)=k 又根据题意200xrh+160 . 当x=-k时,f(x)取最大值M=f(-k)=一k 57(