15 函数与导数高考易错题型剖析（数学部分）-2020年3月刊高三语数外《中学课程辅导高考版》

易错题型 撼学 在单调递减区间,所以当 而g'(x)=x,由g(x)>0,得x<1 x-2<0有解,即4>2-x有解 由g(x)<0,得x>1,∴g(x)在(∞x,1)上单调 设((x)=1-2,所以只要a>G(x)即可 递增,在(1,+∞)上单调递减 ∴当x∈Lb,2]时,g(x)mr=g(1 而((x)=(1-1)2-1,所以Gx) a的取值范围是(-1,0)∪(0,+) 实数a的取值范围为(-∞ (2)(x)在[1,们上单调递减得,当x∈[1, 剖析:上述错解问题出在与量词有关的不等式与 时,h(x)=2ax-2≤0恒成立,即a≥x-交恒 函数最值的转化中,对于本题“对Hax1∈-,2,彐x2 成立.所以a=≥((x)1mx,而G ∈[,2],使∫(x1)≤g(x)成立”应等价于“当x∈ 因为x∈L4,0以1∈L1,1 2]时,f(x)nx≤g(x)n”提醒人家注意两下两 以G(x)amx=16(此时x=4) 点:(1)Ⅴz∈D,彐;∈D,f(x)>g(x2),等价于 所以a-16,又4≠0 两数∫(x)在D上的最小值大于g(x)在D2上的最 小值即f(x)m>g(x)min(这里假设f(x)m,g(x)m a的取值范围是(-16,0)U(O, 有在).其等价转化的基本思想是:函数y=f(x)的任 意一个两数值大于两数y=g(x)的某一个数值,但 五、能成立问题与恒成立问题 并不要求人于函数y 的所有函数值.(2)V 在导数的综合应用中,经常会出现一类能成立问∈D1,3x∈D,f(x1)<g(x2),等价于函数f(x)在高 题与恒成立问题,这类问题一般可转化为函数的最值上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值(这 问题,应注意量词的转化与最大值和最小值之间的大里假设f(x)m,g(x)m存在)其等价转化的基木思 小关系 想是:函数y=f(x)的征意一个函数值小」函数y 例5已知函数f(C)= g(x)的某一个函数值,但并不要求小于函数y=g(x 1)若函数f(x)在区间_1,+∞)上单调递增求的所有函数值 正解:(1)同错解 实数a的最小值 (2)“对x∈[,2],x∈[1,2],使∫(x) 2)若数g( 对Ⅴx1∈ T 成立”等价于“当x∈[,2时,f(x) 2,2,使/(x1)≤g(x)成立,求实数a的取值 错解:(1)由题设知∫(x)=x2+2x+a≥0在_1 (x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在[ 1∞)上恒成立,即a-(x11)2|1在[1,|c)上 上单调递增,∴f(x)mx=f(2)=8+a 恒成立,而函数y=(x+1)2+1在[1,+cx)单调递 血g(x) 由g(x)>0,得x<1, 减,则ymax=-3 ∴4≥-3,a的最小值为一3 由g(x)<0,得x>1 上单调递增,在(1,十cx)上单 (2)“对Vx1∈[,2],彐 使f(x 调递减 ≤g(x2)成立”等价于“当 时,f(x 当x∈[,21时 出8+ 得 8,∴实数a的取值范围 x十 为( 2」F单调递增,f(x)m=f()=立+a (下转第62页) 39