06 《解三角形》重点知识梳理-（数学部分）-2020年3月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

重点解析 数学 源《解三角形》重点知识梳理 □李文海 一、重点知识梳理 /p(p-a)(p-b)(p-c)( 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b 5R”(R为二角形外接圆半径,为三角形 R为△AB外接圆半径,则 内切圆半 定理 弦定理 弦定理 1.三角形内角和定理 -b2+ 在△ABC中,A+B+C 内 2R b=cs1a2-2cacosB -a2+b-2atcosc 变形:AB=工C 三角形中的三角函数关系 (2)COS(A+B)=cOs0 十B 变形|sinC-; cosB 3)a b:c-sina! sinB (4)cos (1aSinB-hsin A 中的射影定理 在△AEC,a=bosC+cosB:6=aosC+cxs4 2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况 7仰角和俯角 与目标线在同一垂平面内的水平视线和目标 A为钝角 视线的夹角,凵标视线在水平视线上方叫仰角,标 A为锐角 或直商视线在水平视线下方叫俯角(如图① 日标视线 图 角 水平线 俯角 目标视 解的个数 解 2 方向角 三角形常用面积公式 相对于某正方向的水平角,如南偏乐30°,北偏西 1)S=1a,h(h表示边a千的高) 15 9.方位角 2)5=absic hasina 指从止北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为a(如图②) (3)S=br(a+b+c)(r为三角形内切圆半径) 10.坡度(又称坡比):坡而的垂直高度与水平长 注:三角形的共他面积公式 度之比 重点解析 数学 而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=丌 在Rt∧CDB中,CD=200 这个结论 ∠BCD=90°-60°=30° 例4如图,在∧ABC中,D是BC上的点:AD平 2001003 分∠BAC,△ABD面积是 面积的2倍 在△ABC (1)求 ACB=600-30 ,∴∠BAC=120 (2)若AD=1,DC=2,求BD和AC的长 在△ABC中,由正孩定理得sin120=sin3o 解析:(1)SMD=2AB·ADin∠BAD =AC· ASin∠CAD 点评;求距离、高度问题应注意 (1)理解俯角、仰角的概念,它们都是视线与水平 因为S BD=∠CAD 线的夹角;理解方向角的概 2)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所 由正弦定理可得Sin=AC=1 求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未 (2)因为S△MB):S△Mx=B):DC,所以B)=√2 知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解 在△AH和△AC中,由余弦定理,知 确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用 AB2=AD)+BD2AD· BCos∠ADB 就选择更便于计算的定理 题型五求角度 f abI 2AC=3A14I BI I 2DC=6, 例6如图所示,位于A处的信息中心获悉:在 又由(1)知AB=2AC,所以解得AC 其正东方向朴距40海里的B处有一艘渔船遇险,在 评:求解几何计算问题要注 原地等待营救.信息中心立即把 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示 消息告知在其南偏西30°、机距 ②选择在某 角形中运用正弦定理或余弦20海的C处的乙船,现乙船 刨北偏东0的方向沿直线CB前 题型四求距离、高度问题 往B处救援,则cos的值为 例5(1)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸 解析:在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC B,C的俯角分别为 此 时气球的高AD是60m,则河禁 出余弦定理得BC=AB+AC2-2AB·AC 流的宽度BC等于() cos120°=2800→>BC=20√7 B.180(2-1) 由正弦定理,得 AB ICB l).30(3|1)n (2)在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底 sin∠BAC 的俯角分别为30°,60°,则塔高是 由∠HAC= 知∠ACHB为锐角 则cs∠A 60m,所以CD= AD. tan60°60m 由∠ACB+30°,得cOS9=cs(∠ACB+30°) cos∠ ACBcos30°sin∠ ACBsin30°= 点评:解决测量角度问题的注意事 所以BC=CD-BD=603-60(2-√3) 1)首先应明确方位角或方向角的含 120(3-1)(m) 分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出 正确的示意图,这是最关键、最重要的 2)如图,设塔AB高为 (下转第57页