08 《解三角形》典型题型归纳、例题解析-（数学部分）-2020年3月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 〈解三角形》典型题型归纳、例题解析 口李刚 解三角形是高中数学的重要内容,题目难度不 题型二三角形中的几何计算 大,主要是通过下、余弦定理的技巧变形来实现三角 例2在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对 形屮的边角转换,硝不注意,则会出现“公而不对,对 边,4 B+C 而不全”的现象,所以解题过程巾应注意整体思想、方 程思想的运用,做到正、余弦定理的优化选择在训练 )求角A的度数 过程屮建议同学们不要求难、求偏,而要掌握好常见 (2)若a=√3,b+c=3,求b和c的值. 的几种题型的解法, 题型一正弦定理与余弦定理 解析:)巾sm22092A=2及A十B十 例1在△ABC中,已知a=23,=6+V2,C=180°,得;2L1-cos(B+C)」-25A+1=2 15°,求b及A 解析:法一:∵62=x2+ Bp 4cos A-4cosA+1=0,. cosA (2√3)2+(6+2)2-2·2√3·(6+√2)c45° 12+(√6+/2)2-43(3+1)=8 (2)巾余弦定闻得:cosA (2 _(22)2+(6+②22-(23)2_1 b+c=3代入上式得:b=2, 2√×(6+√2 法二:根据法一得b=2√2 评注:解三角形问题时,要关注三角形中常见的 sinA=a sinB=2 3. sim150=y3 些变换,如A+B+C=,sin(A+B)=sinC,cos(A +B) cosC; tan(A+B) A+B A B 等 例3在△ABC中,已知a=3,b= 评注:(1)正弦定理的表示形式 求A、C 解析;B=45°<90°,且b<a ABC有两解 k(k>0):或a=ksA,b 巾止弦定得:sinA asin_√3sin45 A=60°或120 (2)正弦定理的应用范围:①已知两角和任一边, 求其他两边及一角;②已知两边和其中一边对角,求 ①当A=60°时,C=75°c=2n=y2sin B 另一边的对角;余弦定理的应用范围:①已知三边求 /6+√2 角:②已知两边及它们的夹角,求第三边 28 解题方法 撼学 ②当A=120°时,C=15°→c √2sin15°a2-ab+b=c→a2+b-c=ab ∴C=5,∴A+B=2x.又sinA·sinB=,则 故A=60°,C=75°,c 2‘Lcos(A+B (A B)=1故A=B=,因而△ABC为正三角形 评注:这是一个已知两边及一边的对角解三角形 评注;判断三角形的形状,通常是两条思路:①对 的问题,可用正弦定理求解,但先要判定△ABC是否条件变形后,可计算各角度或推导角度关系式,从而 有解,有几解,亦可用余弦定理求解.因simA=sin(丌判定三角形的形状②通过对条件的变形,推导计算 故在解三角形中要考虑多种情况,灵活使用正、 出各边之长,或边长满足的特殊关系式,从而判断三 余弦定理,关键是将“条件”对号 角形的形状 例4在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则AC 题型四正余弦定理的实际应用 的值等」,AC的取值范围为 例7如图,某住宅小区的平而图呈圆心角为 解析:设A=0→B=20.由正弦定理得sin2 120°的扇形AOB,小区的两个出入山设置在点A及 点C处,且小区卫有一条平行于BO的小路CD,已知 sin·2a=1→AC=2.巾锐角△ABC得0<20某人从C沿CD走到D用了 分钟,从D沿DA走到A <90→>0 → 用了6分钟,若此人步行的 60,故3<0-452→2<0s 速度为每分钟50米,求该扇 形的半径OA的长(精确到1 米)(要求用两种求法,如图 评注:角的范围的确定是解此类问题的关键. 解析:[解法一]设该扇形的半径为r米,连接 题型三三角形中的三角恒等变换问题O巾题意,得C1)=500(米),DA=300(米),∠CDO 例5在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,求=60°,在△CO中,C)+O-2)·O)·cos60 的值 O,即500+(r-300)2-2×500X 解析:因为A、B、C成等差数列,又AB+C ,解得 445(米) 180,所以AHC=120°,从而A士C=60,故tan+C 答:该形的半径OA的长约为445米 解法二]连接AC,作OH⊥AC,交AC于H,由 =3.巾两角和的止切公式,得 令A+如12=3.题意,得CD=500(米),AD)=300米),∠CA 在△CDA屮,AC2=CD2+AD-2·CD·AD 所以t cos120°=5002+3002+2×500×300 所以tnA √3an1an ∴AC=70(米),co∠(AD=4C3A 评注:在三角函效求值问题中的解题思路,一般 是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,同时 在直角△HAO中,AH=350(米),cos∠HAO 结合三角