09 解三角形题型探究-（数学部分）-2020年3月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

解题方法 撼学 羹解三角形题型探究 口江海华 常言道:知彼知已,自战不殆.在考试中对解三角的所有方法、技巧外,还经常需要考虑对条件或结论 形内容的考査主要涉及哪些题型?让我们与解三角中的“边”与“角”进行互换,即运用“正弦定理、余理定 形题型来个“亲密接触 理或而积公式”将边换成角,或将角换成边.这类问题 题型一:正、余弦定理解三角形的基本问题 般出现在解答题屮,难度不大 止、余弦定理解一角形的基本问题包括直接利川 例3(2019年江苏)在△ABC中,角A,B,C的 正、众弦定理判断二角形的性状求三角形的边长、内对边分别为a,b, 角和山积等,般出现在选择题或解答题中,难度 (1)若a=3,b=V2,cosB=2,求c的值; 不人 例1(2019年全国Ⅱ)ABC的内角A,B,C的 (2)若 265,求sin(B+②)的值 对边分别为a,b,c.已知 sina+ acos=0,则B 解析:(1)因为a=3c,b=√2,cosH 解析:由正弦妵理,得 sinsin+ sinacosh=0 出余弦定理co3B=+c=b A∈(0,π),B∈(0,π),sinA/0,sinB+cosB= C,即tanB ∴B 得 即 点评;本题考查利用正弦定理转化三角恒等 透了逻辑推理和数学运算素养.采取定理法,利用 所以 转化与化归思想解题 (2)因为Sn4=cgB 例2(2019年全国山)△ABC的内角A,B,C的 2b,由正弦定理sinA=s 对边分别为ab,c.若b=6,a=2; xsB=sin,所以csB=2nB. B=5,则△ABC2bb 的面积为 从而cos:B=(2sinB)2,即 解析:由余弦定理得b2=a2+ B,所 故csB )31c8-2×2x×c×1=6,即(2=12,解得c= 因为sinB>0,所以 cOSB=2sinB>0 2√3(合去 从而co=25 所以a=2c=4√3,S△AM=sinB 因此sn(B+)=cB=2√5 23×2=6√3.故答案:6√3 点评:本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三 点评:解答此类问懸,关键是在明确方法的基础角函数关系、诱导公式等基础知识,孝查运算求解能 上,准确记忆公式,心计算.本题首先应用余弦定力.难度适中 理,建立关于c的方程,应用a,C的关系、三角形面积 题型三:解三角形综合性问题 公式计算求解,本题属于常见题目,难度不大 在知识交汇处命题是高考的原则,因此解三角形 题型二:三角形中的求值问题 解答题往往与其他知识综合,如平面向量,基本不等 三角形中的求值问题,除∫需要运用三角式变换式和数列等,以考查同学们综合应用知识的能力,但 解题方法 这类问题难度不大, =3√3(千米) 例4在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a, BC=CD,∠BCD=120 b,c,角A,BC成等差数列 CDB=/CBD 1)求cosB的值 (2)边a,b,c成等比数列,求 sinsing的值 BDE=∠CDE 30°=90° 解析:(1)出已知角A,B,C成等差数列得,2B 在Rt∧BDE中,BE=√BD+DE C,A十B+C=丌,∴B= (2)解法·:因为边a,b,c城等比数列,故b2=aC, ∴小道BE的长度为3√7千米 于是正孩定理得 sinsing=si2B=3 如图所示,设∠ABE=a BE=60°,∴∠AEB=1 BAE-a= 解法二:因为边a,b,c成等比数列,故b2=ac, 又巾余弦定理得2 在三角形ABE中,由正弦定理可得:sn∠AE 化简得a2+c2-c=ac即得a=c, 故A=B=C=, sinsing.= 点评:本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定 理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查 BABXAEsinge 转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小題既 可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可 2T×2√2×3sm(120-a)sin, 一以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的 题型四:解三角形的实际应用 解三角形实际应川类问题历来是考试命题的 2c(120-2x)1213 热点.有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步 00<a<120°,∴-120 120<120°, 骤是:(1)准确理解题总,分清已知与所求,尤其要理 解应用题中的有关名词和术语;(2)画出小意图,并将 故当a=60时,S取得最大值,最大值为√③ 已知条件在图形中标出:(3)分析与所研究问题有关 的一个或几个三角形,合理运用止弦定理和余弦定哩 求解 例5某省公城山计划新修一座城市运动公园, 球类活动场所△ABE的血积最大值为63 设计平面如图所示:其为五边形 ABCDE,其中三角形方千米 区域ABE为球类活动场所;四边形 点评:求解这类图形最值问题,不仅要用到余弦 BC/F