12 解三角形常见误区分析-（数学部分）-2020年3月刊高一语数外《中学课程辅导高考版》

易错题型 撼学 解三角形常见误区分析 □朱承 解三角形看似容易,其实暗藏杀机,稍不留总,便 错解:由正弦定理,得 会一败涂地.那么,解三角形问题中有哪些误风需特 nC sin 3B sin(B+2B) 别提防呢? sinB 一、谨防利用正弦定理求三角形的内角时 sit Bcos2B I cos Bsin2B 丢解 cos2B 2c Os B=4cOs B-1 在利用下弦定理求角时,出于正弦函数在(0,x) 内不严格单调,所以角的个数可以不唯,这时应注 0≈cs2≤1,∴-1≤4cos2B-1≤3 意借助已知条件加以检验,务必做到不漏解、不多解 例1在△ABC中,B=30,AB=23,AC=2 分析:在上述解题过程,得到b=40B-1 求∧ABC的面积 后,忽略了三角形內角和为180°及隐含的A,B,C均 为正角这一条件 错解:由止弦定理,得sin 正解:巾止弦定理,得 B sin(B+2B) A b sinB sin sinBcos2B-+cosBsin2B 分析:本题错误的原因是利用正弦定理求C时丢 Bl2c os B=4c0s B-1 A+B+C=180°,C=3B,∴0°<B<45° ∫一解事实⊥,由snC=2,可得C=60或120,这 两个结果都符合题意 正解:正弦定理,得siC:= ARsinE3 又AB>AC,∴C=60或120 三、谨防因忽略三角形三边关系而致错 当C=60时,A=90° 在解三角形时,也经常容易忽略三角形的三边满 AC=AB·AC·snA=23; 足两边之和大于第三迎,这样往往使某些了母的围 变大,从而使答案不正确 当C=120°时,A=30° 例3设2a+1 为钝角三角形的三边 求实数a的取值范围 错解;2a+1 1是三角形的二边 的面积为2√3或3. 二、違防因忽略三角形中角的限制而致错 得 在解三角形问题时,应注意A+B+C=180°,且 2q1>0 >(0°,B>0°,C>(,尤其是题凵中注明是锐角三角 +1是三边长的最大值,设其所对角为θ, 形时,更要注意最小角的取值范围 2a+1,,2a-1是钝角三角形的三边 例2在△AHC中,C=3B,求 b 的取值范围 易错题型 撼学 2(2a1)0,解得1 (a-8) 还需a+(2a-1)>2a+1,解得 设最长边2a+1所对的角为,则 的取值范围 分析:错解中求得的a>不是2a+1,a,2a- 解得<a<8 表示三角形三边的充要条件.如当a=1时,a+(2 ∴a的取值范围是2<a<8 )≤2a+1此时就不能作为三角形的三边 俗话说:谨慎能捕千秋蝉,小心驶得万年船.以上 正解:∵2a+1,a,2a-1是三角形的三边, 个误区告诉我们:对于三角形问题,切莫忽祧三角 形固有的性质,即三边之间的关系,三角之间的关系 解得a2,此时2a+1最大 和边角之间的关系 作者:朱承,江苏省太仓市明德高级中学 要使2a+1,a,2a-1表小三角形的三边 (上接第36页) 解得G=3或=8 在R∧CDB中,可得c0B=2,则知B=45,所 舍去) 以∠BC)=45 所以sidc=sim(3°15)=6+2 合正弦定理mA=a,可得siC=a×sinA 点评;利用题目条件对具体的三角形作高,把一 3√2+6、3√6+2 般性的三角形问题转化为直角三角形,利用平面几何 知识来处理.通过平面几何作图,将一些三角形问题 点评;利用题目条件得到关于三角形的三边长的经过切割、补形等形式加以转化,比较常见的就是切 次 齐次方程,那么“两边同除”的齐次方程思 两个直角三角形蚁是补形成两个直角三角形,利 维就可以得以有效发挥.利用齐次方程思维破解关于用直角三角形中的边角关系加以转化与应用.平面几 的二次方程,并得以求解,再惜助正弦定理得以巧何作图处理,求解直观有 妙转化与应 、解后反思 维角度5:平面几何思维 在利用三角函数破解相应的解三角形问题屮,经 解三角形的机关知识就是平而几何知识及其深常会出现多解现象,此时要借助三角形的性质圳以合 入拓展,将复杂的解三角形问题加以合理切割、补形理处理剔除多余的解,解二角问题中对应的内角的 等操作,转化为特殊的三角形模型直角三角形、取值范围至关重要,一些问题,角的取值范隐含在 等腰三角形或等边三角形等,进而直接利用平面几何题∏的条件中若不仟细审题深人挖掘,往往疏漏而 知识来处理即可达到解决解三角形问题的的 导致解题错误,一定要引起重视 法8:(作高思 利用多个不同思维角度来破解此类解三角形问 由(1)知A 如图所示 题,巧妙把该题的底蕴允分挖掘出来,多思维转化, 过点C作CD⊥AB交AB」 多角度切入,多方面求解,真正体现对解三角形知识 与三角函数知识的融会贯通,究分展现多个知识点 则知∠ACD 间的交汇与综合,达到提升能力,拓展应用的目的