1.1.1 正弦定理-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 一、正弦定理 在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立． 二、解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________． 一、 二、元素 解三角形 帮—重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用 帮—难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断 帮—易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论 1．正弦定理的常见变形及推广 （1）． （2）． （3）． （4）正弦定理的推广：，其中为外接圆的半径． （1）已知ABC中，，则=_____________； （2）已知ABC中，A，，则=_____________． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得． （2）方法1：设，则有 从而， 又，所以． 方法2：根据正弦定理的变形，可得． 【名师点睛】熟记正弦定理的变形，可使解题过程更加简捷，从而达到事半功倍的效果． 在中，内角，，的对边分别为，，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理，即，，， 可得 . 故选C． 【解题技巧】的两种变形的应用： （1）（边化角）； （2）（角化边）． 2．正弦定理在解三角形中的应用、三角形解的个数的探究 （1）正弦定理可以用来解决下列两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． （2）三角形解的个数的探究（以已知和解三角形为例） ①从代数角度来看 若，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； 若，则满足条件的三角形的个数为1； 若，则满足条件的三角形的个数为1或2． 注：由可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”、“三角形内角和等于180°”等进行讨论． ②从几何角度来看 当A为锐角时： 一解 一解 两解 无解 当A为钝角或直角时： 一解 一解 无解 无解 （1）在中，如果，，，则此三角形有 A．无解 B．一解 C．两解 D．无穷多解 （2）设的三个内角的对