第2章 2.2　函数的单调性与最值（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

2.2　函数的单调性与最值 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 理解函数的单调性，最大值、最小值及其几何意义． 2. 会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 1. 确定函数的单调性(单调区间) 5年3考 1. 确定函数的单调性(区间)，提升直观想象和逻辑推理素养 确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，题型多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题，常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题． 在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 2. 函数的最值与值域 5年2考 2.函数的最值，发展直观想象和数学运算素养 3. 函数单调性的应用 5年4考 3. 函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 ——— 课前自主梳理　巩固基础知识———对应学生用书P011 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 上升的 自左向右看图象是 下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2. 函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤M ； (2)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有 f(x)≥M ； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【必记结论】 1. 对x1，x2∈D(x1≠x2)，＜0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0)⇔f(x)在D上是减函数．＞0(或(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0)⇔f(x)在D上是增函数， 2. 对勾函数y＝x＋]．，0)和(0，，＋∞)，减区间为[－]和[(a＞0)的增区间为(－∞，－ 3. 在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． 4. 若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(b)；若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)min＝f(b)，f(x)max＝f(a)． 5. 复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数．在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集． 6. 函数单调性的常用结论 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数． (2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同. 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( × ) 解析　对R上的特殊的－1＜3，有f(－1)＜f(3)，f(x)在R上不一定为增函数． (2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数．( × ) 解析　由函数单调性的定义可知，“存在”应为“任意”，故错误． (3)若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数．( × ) 解析　如f(x)＝在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上都是减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数，如取x1＝－1，x2＝1，x1<x2，但f(x1)>f(x2)不成立．故不正确． (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意的x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f