第2章 2.3　函数的奇偶性与周期性（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

2．3　函数的奇偶性与周期性 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 1. 函数的奇偶性 5年5考 1. 函数的奇偶性，发展数学抽象和逻辑推理素养 函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大． 本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力 2. 函数的周期性 5年3考 2. 函数的周期性，发展逻辑推理和数学运算素养 3. 函数性质的综合应用 5年4考 3. 函数性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 —————课前自主梳理　巩固基础知识————对应学生用书P014 1. 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶函数 关于 y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇函数 关于 原点 对称 2. 函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小 正周期． 【必记结论】 1. 函数奇偶性的常用重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2. 设函数y＝f(x)，x∈R，a>0. (1)f(x＋a)＝－f(x)⇔y＝f(x)的周期T＝2a； (2)f(x＋a)＝f(x＋b)(a<b) ⇔y＝f(x)的周期T＝b－a； (3)f(x＋a)＝⇔y＝f(x)的周期T＝2a； (4)f(x＋a)＝－⇔y＝f(x)的周期T＝2a； (5)y＝f(x)有两条对称轴x＝a和x＝b(a<b)⇔y＝f(x)的周期T＝2(b－a)．特别地，偶函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的周期T＝2a； (6)y＝f(x)有两个对称中心(a，0)和(b，0)⇔y＝f(x)的周期T＝2(b－a)； (7)y＝f(x)一条对称轴x＝a和一个对称中心(b，0)⇔y＝f(x)的周期T＝4(b－a)．特别地，奇函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的周期T＝4a. 3. 函数y＝f(x)图象本身的对称性(自身对称)的三个常用结论． (1)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；＝ (2)f(a＋x)＝f(a－x)(f(x)＝f(2a－x)或f(－x)＝f(2a＋x))⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇔y＝f(x)的图象关于点对称； (4)f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(f(x)＋f(2a－x)＝2b或f(－x)＋f(2a＋x)＝2b)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)周期函数一定有最小正周期．( × ) 解析　周期函数不一定有最小正周期，如常数函数是周期函数，但是却没有最小正周期． (2)函数f(x)满足f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的充要条件．( × ) 解析　函数f(x)满足f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的既不充分又不必要条件，由奇函数的定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才能满足f(0)＝0. (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √ ) 解析　函数y＝f(x＋a)关于直线x＝0对称，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称． (4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √ ) 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A. y＝x＋1 B. y＝－x3 C. y＝ D. y＝x|x| 解析　y＝x＋1是非奇非偶函数，A错；y＝－x3是