第2章 2.8　函数与方程（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

2．8　函数与方程 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 1. 判断函数零点的个数 5年3考 1. 判断函数零点的个数，发展直观想象素养 由零点存在性定理判断零点是否存在和零点所在的区间、求方程的根、函数的零点个数、基本初等函数的图象是高考的热点．以函数的零点、方程的根及函数图象的交点之间的等价转化为桥梁，考查转化与化归、函数与方程、数形结合等思想．本部分内容在高考中以选择题或填空题形式考查居多，在解答题中也有所体现，难度较大 2. 确定函数零点所在的区间 5年3考 2. 确定函数零点所在的区间，达成直观想象和逻辑推理素养 3. 函数零点的应用 5年4考 3. 函数零点的应用，提升直观想象和逻辑推理素养 夯实双基·自主梳理 ———— 课前自主梳理　巩固基础知识——对应学生用书P028 1. 函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y＝f(x)有 零点 ． (3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)＜0 ，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上存在零点，即存在c∈[a，b]，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 【必记结论】 1. 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上一定有零点． 2. 由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示． 所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 3. 若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( × ) 解析　函数的零点是函数的图象与x轴的交点的横坐标，是一个具体的数，而不是一个点，因此不正确． (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0.( × ) 解析　函数f(x)＝x2－x在(－1，2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)＞0. (3)二分法可以判断任何函数的零点．( × ) 解析　二分法只能判断函数的变号零点，对于不变号零点，则不能用二分法判断． (4)若函数f(x)在区间(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在(a，b)上有且只有一个零点．( √ ) 解析　由已知条件，数形结合可得f(x)与x轴在区间(a，b)上有且仅有一个交点． (5)函数y＝2sin x－1的零点有无数个．( √ ) 解析　函数y＝2sin x－1的零点即为方程sin x＝的实数根，有无数个． 2. 已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( C ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析　根据题意令x2－2x＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，当x≤0时符合题意．令1＋＋3x＝0无解，故只有两个零点，故选C. 3. (教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( B ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析　由f(x)＝ex＋3x＝0可知ex＝－3x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ex与y＝－3x的图象，可知两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝ex＋3x只有一个零点． 4. 函数f(x)＝ln 2x－1的零点位于区间( D ) A. (2，3) B. (3，4) C. (0，1) D. (1，2) 解析　f(x)＝ln 2x－1在定义域上是增函数，并且是连续函数， 且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1，2)上，故选D. 5. 若方程x2－x－k＝0在区间(－1，1)上有