第2章 2.9　函数模型及其应用（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

2.9　函数模型及其应用 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2. 了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 1. 利用函数图象刻画实际问题 5年2考 1. 利用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养 函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题 2. 利用所给函数模型解决实际问题 5年2考 2. 利用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养 3. 构建函数模型解决实际问题 5年3考 3. 构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 ——— 课前自主梳理　巩固基础知识———对应学生用书P031 1. 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 y轴 平行 随x的增大逐渐表现为与 x轴 平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 【必记结论】 形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－]上单调递减．，0)和(0，，＋∞)上单调递增，在[－]和[ (2)当x＞0，即x＝.时取最大值－2，当x＜0，即x＝－时取最小值2 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．( × ) 解析　当x∈(0，2)和(4，＋∞)时，2x＞x2，当x∈(2，4)时，x2＞2x. (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度．( √ ) 解析　由两者的图象易知． (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 解析　增长越来越快的指数型函数是y＝a·bx＋c(a＞0，b＞1)． (4)幂函数的增长速度比直线更快．( × ) 解析　幂函数y＝xn(0＜n＜1，x＞1)的增长速度比直线y＝x(x＞1)的增长速度慢． (5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( √ ) 解析　根据指数函数y＝ax函数值变化特点知正确． 2. 下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是( D ) x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A. 一次函数模型 B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型 解析　观察表中函数值y随自变量x变化规律可知：随着自变量x增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数．故选D. 3. (教材改编)下列函数中随x的增大，最终增长率最大的是( D ) A. y＝1 000x B. y＝x2 C. y＝ln x D. y＝1.01x 解析　指数函数增长最快，因此选D. 4. 当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( C ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 解析　设死亡生物体内原