第2章 2.11　第1课时　利用导数研究函数的单调性（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

2.11　导数在研究函数中的应用 第1课时　利用导数研究函数的单调性 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 了解函数的单调性与导数的关系． 2. 能利用导数研究函数的单调性． 3. 会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 1. 利用导数讨论函数的单调性 5年5考 1. 利用导数判断或证明函数的单调性，发展逻辑推理和数学运算素养 利用导数研究函数的单调性是高考重点考查的热点内容，主要考查利用导数讨论函数的单调性、利用导数确定函数的单调区间、已知函数的单调性求参数的取值范围等，考查转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法 2. 利用导数确定函数的单调区间 5年5考 2. 利用导数求函数的单调区间，提升逻辑推理和数学运算素养 3. 已知函数的单调性求参数的取值范围 5年5考 3. 已知函数的单调性求参数的取值范围，提升逻辑推理和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 ———课前自主梳理　巩固基础知识——对应学生用书P036 函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间上可导： (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上 单调递增 ； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上 单调递减 ； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是 常数函数 ． 【必记结论】 可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件：对x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零． 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．( × ) 解析　f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.∴f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． (2)若f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)，则有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．( √ ) (3)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．( × ) 解析　函数在某一范围内导数的绝对值越大，函数在这个范围内变化越快，其对应函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)，反之，函数的图象就“平缓”一些． (4)如果函数f(x)在某个区间上恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间上没有单调性．( √ ) 2. 如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是( A ) A. 函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数 B. 函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数 C. 函数f(x)在区间(0，2)上是减函数 D. 函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数 解析　当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3，0)上是减函数．其他判断均不正确． 3. (教材习题改编)函数f(x)＝sin x－x在(0，π)上的单调性是( D ) A. 先增后减 B. 先减后增 C. 增函数 D. 减函数 解析　因为在(0，π)上f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D. 4. 函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( A ) A. (0，1) B. (0，＋∞) C. (1，＋∞) D. (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析　由f′(x)＝1－>1，<0，得 即x<1，又x>0， 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)． 5. 已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是 3 ． 解析　f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3. 题型考向·层级突破 —— 真题典题深度剖析　重点难点多维探究——对应学生用书P037 |题型一|　(易错点)利用导数判断或证明函数的单调性 (课堂共研) [高考分析] 单调性是导数应用中的最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开单调性，研究函数的单调性常出现在解答题的某一问中，多利用分类讨论思想． 　已知函数f(x)＝ax2－ln x－2，a∈R，讨论函数f(x)的单调性． 解析　f′(x)＝ax－，x＞0.＝ ①当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝. 当x∈时，f′(x)＜0； 当x∈时，f′(x)＞0； ∴函数f(x)在上单调递增．上单调递减，在 [方法指导]　用导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)求f′(x)； (2)确认f′(x)在(a，b)内的符号； (3)得出结论：f′(x)＞0时为增函