第2章 2.11　第2课时　利用导数研究函数的极值、最值（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

第2课时　利用导数研究函数的极值、最值 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2. 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)． 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次) 1. 利用导数求函数的极值与最值 5年5考 1. 利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养 函数的极值与最值是高考热点内容，对极值的考查主要有两个命题角度：①判断极值的情况；②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是热点考查内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 2. 利用导数解决最优化问题 5年5考 2. 利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养 3. 已知函数的极值、最值情况求参数的取值范围 5年5考 3. 利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 ————课前自主梳理　巩固基础知识———对应学生用书P039 1. 判断函数极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x＝x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是 极大值 ； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是 极小值 ． 2. 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧函数值的符号，如果 左正右负 ，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正 ，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成． 3. 函数的最值 在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值．在区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点． 【必记结论】 1. 对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2. 若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3. 若函数f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4. 若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．( × ) 解析　一个函数在某区间上或定义域内的最大值只有一个，而极大值的个数可以不止一个． (2)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) 解析　一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小． (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．( × ) 解析　对可导函数f(x)，f′(x0)＝0只是x0为极值点的必要条件，如y＝x3在x＝0时f′(0)＝0，而函数在R上为增函数，所以0不是极值点． (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 解析　当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值． (5)开区间上的单调连续函数无最值．( √ ) 2. 函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 解析　函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋，由于x＞0，g(x)＝6x2－2x＋1中Δ＝－20＜0，∴g(x)＞0恒成立，故f′(x)＞0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．故选A.－2＝ 3. 函数y＝xex的最小值是( C ) A. －1 B. －e C. － D. 不存在 解析　y′＝ex＋x·ex.令y′＝0，得x＝－1. ∵x＜－1时，y′＜0；x＞－1时，y′＞0， ∴x＝－1是函数唯一的极小值点，即为最小值点， ∴x＝－1时，ymin＝－，故选C. 4. (2018·江苏高考改编)函数f(x)＝2x3－3x2＋1在[－1，1]上的最大值与最小值的和为( C ) A. 0 B. －4 C. －3 D. 4 解析　由f(x)＝2x3－3x2＋1，则f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x