第2章 2.11　第3课时　利用导数研究不等式、函数零点（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

第3课时　利用导数研究不等式、函数零点 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 理解并掌握利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题． 2. 理解并掌握利用导数比较大小、证明不等式． 3. 理解并掌握利用导数研究函数的零点问题 1. 利用导数解决不等式的恒成立、能成立问题 5年5考 1. 利用导数证明不等式，发展逻辑推理和数学运算素养 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用 2. 利用导数比较大小、证明不等式 5年5考 2. 利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题，提升逻辑推理和数学运算素养 3. 利用导数研究函数的零点问题 5年5考 3. 利用导数研究函数的零点问题，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养 夯实双基·自主梳理 ———课前自主梳理　巩固基础知识——对应学生用书P041 1. 利用导数证明不等式的常用技巧 (1)利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值、极值等，服务于所要证明的不等式． (2)当给出的不等式无法直接证明时，先对不等式进行等价转化后再进行求证． (3)根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行求证，构造函数的方法较为灵活，要结合具体问题，平时要多积累． 其一般步骤如下：构造可导函数→研究其单调性求最值→得出不等关系→整理得出所证明的结论． 2. 导数在研究函数零点中的作用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等． (2)用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 【必记结论】 1. 证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题． 2. 恒(能)成立问题的转化策略．若f(x)在区间D上有最值，则 (1)恒成立：x∈D，f(x)＞0⇔f(x)min＞0；x∈D，f(x)＜0⇔f(x)max＜0. (2)能成立：x∈D，f(x)＞0⇔f(x)max＞0；x∈D，f(x)＜0⇔f(x)min＜0. 3. 函数零点问题，可从零点、方程的根、两图象交点这三个角度中选择一个合适的角度来解题． 1. 直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是( B ) A. (－2，0) B. (－2，2) C. (0，2) D. (0，＋∞) 解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．故选B. 2. 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( B ) A. (－1，1) B. (－1，＋∞) C. (－∞，－1) D. (－∞，＋∞) 解析　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)． ∵m′(x)＝f′(x)－2＞0，∴m(x)在R上是增函数． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)＞0的解集为{x|x＞－1}， 即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 3. (2018·天津调研)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( A ) A. －2或2 B. －9或3　 C. －1或1 D. －3或1 解析　∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1. 则当x变化时，y′，y的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y c＋2 c－2 因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2. 4. 在区间(0，π)上，sin x与x的大小关系是 sin x＜x ． 解析　构造函数f(x)＝sin x－x，则f′(x)＝cos x－1≤0且不恒等于0，故函数f(x)在(0，π)上单调递减，∴f(x)＜f(0)＝0，故sin x＜x. 5. 函数f(x)＝x3－x2－3x－1的零点个数是 3 ． 解析　f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)·(x－3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1，3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10＜0，f(x)极大值＝f(－1)＝＞0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3. 题型考向·层级突破 ——