第3章 3.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数（知识讲解）-2021锁定高考数学（文）一轮总复习（Word）

3.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数 【考纲考情】 考试说明 考点 五年考情 素养定位 趋势分析 1. 了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性. 2. 能进行弧度与角度的互化. 3. 理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1. 角的概念与分类 5年2考 1. 角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象的素养 对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 2. 弧度制 5年2考 2. 扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算的素养 3. 任意角的三角函数定义 5年2考 3. 三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算的素养 4. 三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象的素养 夯实双基·自主梳理 ——课前自主梳理　巩固基础知识——对应学生用书P045 1. 角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2. 弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝° rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝ |α|r 扇形面积公式 S＝ |α|r2 lr ＝ 3. 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线 有向线段 AT 为正切线 【必记结论】 1. 任意角的三角函数定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝(x≠0)．，tan α＝，cos α＝ 2. 若α分别为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图： 1. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的内角必是第一、二象限角．( × ) 解析　90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角． (2)小于90°的角是锐角．( × ) 解析　－30°的角是小于90°的角，但它不是锐角． (3)不相等的角终边一定不相同．( × ) 解析　390°的角和30°的角不相等，但终边相同． (4)若β＝α＋k·720°(k∈Z)，则α和β终边相同．( √ ) 解析　由终边相同的角的概念可知正确． (5)若点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．( √ ) 解析　由已知得tan α＜0，cos α＜0，所以α为第二象限角． 2. －870°角的终边在( C ) A. 第一象限　 B. 第二象限　 C. 第三象限　 D. 第四象限 解析　∵－870°＝－360°×3＋210°，∴－870°角与210°角的终边相同．又210°角的终边在第三象限，∴－870°角的终边在第三象限．故选C. 3. 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( C ) A. 2kπ＋45°(k∈Z) B. k·360°＋π(k∈Z) C. k·360°－315°(k∈Z) D. kπ＋π(k∈Z) 解析　与(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，∴只有C正确．的终边相同的角可以写成2kπ＋ 4. 若角α同时满足sin α＜0且tan α＜0，则角α一定是( D ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 解析　由sin α＜0可知α为第三或第四象限角． 由tan α＜0可知α为第二或第四象限角． 综上可知，α为第四象限角． 5. 已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＝ ，cos θ＝ － ． ，tan θ＝ － 6. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 1或4 ． 解析　设扇形的半径和弧长