6.5 高考专题突破三　高考中的数列问题-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

6.5高考专题突破三　高考中的数列问题 等差数列、等比数列 命题点1　数列与数学文化 例1 (1)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a1＝5，一月按30天计可得S30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .又S30＝30×5＋×d＝390，解得d＝ .故选B. (2)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．2.2天 B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天 答案　C 解析　设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An，则An＝＝6. 莞的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.则Bn＝ ＝2n－1， 由题意可得，6＝2n－1， 整理得，2n＋＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去)． ∴n＝log26＝＝1＋≈2.6. ∴蒲、莞长度相等大约需要2.6天． 故选C. 思维升华 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验． 跟踪训练1 (1)《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为(　　) A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺 答案　B 解析　设这十二个节气日影长依次成等差数列{an}， Sn是其前n项和， 则S9＝＝9a5＝85.5，所以a5＝9.5， 由题意知a1＋a4＋a7＝3a4＝31.5，