专题02 数的整除质数合数约数倍数-2020-2021学年沪教版预初暑假小升初衔接特训专题（沪教版）

专题02 数的整除质数合数约数倍数 【整数整除的概念和性质】 对于整数和不为零的整数，总存在整数，使得＝bm+(0≤<b)，其中称为商，称为余数，特别地，＝0时，即＝bm，便称被被整除(也称是的倍数或的约数)，记为|． 整除有以下基本性质： 1．若|，|，则|（）； 2．若|，|，则|； 3．若| ，且(，)=1，则|，特别地，若质数|，则必有|或|； 4．若|，|，且(，) =1，则|． 解整除有关问题常用到数的整除性常见特征： 1．被2整除的数：个位数字是偶数； 2．被5整除的数：个位数字是0或5； 3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除； 4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除； 5．被3整除的数：数字和被3整除； 6．被9整除的数：数字和被9整除； 7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除． 【例1】 一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是 ． 【例2】有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不能被b整除，②a2+c2不能被b整除：③(a+b)2不能被c整除；④a2+b2不能被c整除，其中，不正确的判断有( )． A．4个 B．3个 C 2个 D．1个 【例3】 已知7位数是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数． 【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x一a)(x一b) (x一c)(x一d)一9＝0，求证；4︳(a+b+c+d)． (2)已知两个三位数与的和+能被37整除，证明：六位数也能被37整除． 【质数、合数与因数分解】 一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于1的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数．这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类： 质数，合数有下面常用的性质： 1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数． 2．若质数│ab，则必有│a或│b． 3．若正整a、b的积是质数，则必有a=或b=． 4．算术基本定理：任意一个大于l的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的