考点15 三角函数的图象与性质-2021年新高考数学一轮复习考点扫描

考点15 三角函数的图像和性质 【考点剖析】 1.最新考试说明： (1)考查三角函数的值域与最值； 【2020年高考北京卷14】若函数的最大值为，则常数的一个取值为 ． 【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________． 【2018全国卷Ⅱ】若 在 是减函数，则 的最大值是 A． B． C． D． 【2017山东】设函数，其中．已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． (2)考查三角函数图象及单调性、奇偶性、周期性； 【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图像大致如下图，则的 最小正周期为 （ ） A． B． C． D． 【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则 （ ） A．的最小值为 B．的图像关于轴对称 C．的图像关于直线对称 D．的图像关于直线对称 【2020年高考天津卷8】已知函数．给出下列结论： ①的最小正周期为； ②是的最大值； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 其中所有正确结论的序号是 A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 2.命题方向预测： (1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. (2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点. (3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 3.课本结论总结： (1)由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，有两种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． (2) 的性质：①定义域为R，值域为 ；②是周期函数，最小正周期为 ；③在 单调递增，在 单调递减；④当 时， ；当 时， ；⑤其对称轴方程为 ,对称中心坐标为 . (3) 的性质：①定义域为R，值域为 ；②是周期函数，最小正周期为 ；③在 单调递增，在 单调递减；④当 时， ；当 时， ；⑤其对称轴方程为 ,对称中心坐标为 . （4） 的性质：①定义域为 ，值域为 ；②是周期函数，最小正周期为 ；③在 单调递增；④其对称中心坐标为 . 4. 名师二级结论： （1）由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． （2）在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝＝T求出，φ由特殊点确定． ，ω由周期T确定，即由，k＝ (3)作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意： ①首先要确定函数的定义域； ②对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象. (4)求三角函数值域(最值)的方法： ①利用sin x、cos x的有界性； ②形式复杂的函数应化为 的形式逐步分析 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； ③换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 5. 、 、 的性质： ①周期性 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为. ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 ②奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． ③研究函数的单调性、最值、对称性等问题，要注意整体意识，即将 看作一个整体. 5.课本经典习题： (1)新课标A版第147 页，第 A9 题（例题）已知 . ①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值. 【解析】 EMBED Equation.KSEE3 ①令 ，解得 ，即函数的单调区间为 ; ②由题意得， ， . 【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 (2) 新课标A版第 147 页，第 A10题（例题）已知函数 . ①求 的最小正周期；②当 时，求 的最小值以及取得最小值时 的集合. 【解析】 EMBED Equation.KSEE3 . ① ; ② ，则 ，即 ，此时， ， 即 ，即取得最小值时 的集