第7课函数的周期性及对称性学案-福建省厦门市2020届高三数学（文）一轮复习

厦门市2020届高三数学（文科）第一轮复习 第7课 函数的周期性及对称性 一、目标导引 提出问题： 1． 如果函数 对任意实数 ，都有 ，求 的值. 2．已知函数 的图象如图所示，回答下列问题： （1）求函数的周期； （2）你能写出函数 的解析式吗？ 思考：画出函数 的图象. 问题：从以上两题，你能得到什么一般性的结论？ 二、知识梳理 函数的周期性及对称性： 周期函数 轴对称 中心对称 前提条件 图象特征 图形表示 代数表示 结构特征 三、问题研讨 问题1：函数周期性 例题1：已知 在 上满足 ，当 时， ，则 . 问题2：函数的对称性 例题2：（1）与函数 的图象： 关于 轴对称的函数是 ；关于原点对称的函数是 ； 关于 轴对称的函数是 . （2） 设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线 对称，且当 时， ，比较 的大小. 问题3：简单应用 例题3：设函数 为奇函数， ，且 ， 则 . 问题4：综合应用 例题4：定义在 上的偶函数 满足： ，且在 上是增函数，下列关于 的判断： ① 是周期函数；② 的图象关于直线 对称； ③ 在 上是增函数；④ 在 上是减函数；⑤ ． 其中判断正确的序号是 ． 四、总结提升 1．三角函数的周期性： 函数 的周期为 ；函数 的周期为 . 函数 的周期为 ；函数 的周期为 . 2．由函数所满足的结构特征，判断函数所具有的性质（ ）： 结构特征 性质 结构特征 性质 五、即时检测 1. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，若 ， 则 （ ） A. B. C. D. 2. 若函数 是定义在 上的偶函数，且 ，若当 时， ，则 _______． 第7课 函数的周期性及对称性 一、目标导引 提出问题： 1．如果函数 对任意实数 ，都有 ，求 的值. 解法一：取 ，得 ，∴ ，解得 . 解法二：由 得，函数 的图象关于直线 对称， 由二次函数的性质得 ，∴ . 2．已知函数 的图象如图所示，回答下列问题： （1）求函数的周期； （2）你能写出函数 的解析式吗？ 解答：（1）2； （2） . 思考：画出函数 的图象. 问题：从以上两题，你能得到什么一般性的结论？ 二、知识梳理 函数的周期性及对称性： 周期函数 轴对称 中心对称 前提条件 图象特征 图形表示 代数表示 结构特征 预设： 周期函数 轴对称 中心对称 前提条件 定义域 中的任意 图象特征 函数值重复出现 关于直线 对称 关于点 对称 图形表示 代数表示 图象平移 个单位，函数值相等 点 与点 关于直线 对称 点 与点 关于点 对称 结构特征 三、问题研讨 问题1：函数周期性 例题1：已知 在 上满足 ，当 时， ，则 . 解： ，周期为4. ；又 . 提炼：利用函数的周期性解决求值或求解析式的问题，关键在于利用函数的周期将所求的值或者范围转化到已知解析式的范围内，进而求解. 问题2：函数的对称性 例题2：（1）与函数 的图象： 关于 轴对称的函数是 ；关于原点对称的函数是 ； 关于 轴对称的函数是 . （2）设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线 对称，且当 时， ，比较 的大小. 解：（1） ； ； . （2）依题意， ， ， ， 在 递增， ，则 . 提炼：利用函数的对称性可以解决比较大小的问题，利用对称性将所求的函数值转化到已知解析式的范围内或是同一个单调区间内是解决此类问题的关键. 问题3：简单应用 例题3：设函数 为奇函数， ，且 ， 则 . 解： ， ，所以周期为4. . 提炼:奇偶性与周期性综合应用的问题，熟练应用性质及化归与转化的思想方法才能解决好此类问题. 问题4：综合应用 例题4：定义在 上的偶函数 满足： ，且在 上是增函数，下列关于 的判断： ① 是周期函数；② 的图象关于直线 对称； ③ 在 上是增函数；④ 在 上是减函数；⑤ ． 其中判断正确的序号是 ． 答案：①②⑤ 解析： ，故 是周期函数． 又 ，所以 ，故 的图象关于直线 对称． 同理， ，所以 的图象关于直线 对称． 由 在 上是增函数，得 在 上是减函数，在 上是增函数． 因此可得①②⑤正确． 提炼：奇偶性、单调性、周期性、对称性的综合问题，对学生的要求较高