第13课指数与对数运算学案-福建省厦门市2020届高三数学（文）一轮复习

第12课 指数与对数运算 一、目标导引 求值：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 二、知识梳理 指数幂、根式与对数运算： 指数 根式 对数 定义 表示 关系 性质 运算 性质 常见结论 换底公式： 三、问题研讨 问题1：指数运算 例题1.化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 例题2.已知 ，求 的值. 问题2：对数运算 例题3.计算下列各式： （1） ； （2） . 例题4：（1）已知 为正实数，则 A． B． C． D． （2）函数 的最小值为_________． 问题3：指数方程与对数方程 例题5：解下列方程： （1） ；（2） 问题4：指对数综合 例题6.（1）设 ，且 ，则 ________； （2）已知 ， ，则 的值为________． 例题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 约为 ．则下列各数中与 最接近的是（ ） （参考数据： ） A． B． C． D． 四、总结提升 1．比较幂、对数大小有两种常用方法：（1）数形结合；（2）找中间量结合函数单调性． 2．在运算性质 中，要特别注意条件，在无 的条件下应为 （ 且 为偶数）． 五、即时检测 1．化简 ________. 2.若 ，则 ________. 第12课 指数与对数运算 一、目标导引 求值：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4）2. 二、知识梳理 指数幂、根式与对数运算： 指数 根式 对数 定义 表示 关系 性质 运算 性质 常见结论 换底公式： 预设： 指数幂 根式 对数 定义 如果 ，那么 叫做 的 次幂( ， 使等式有意义）． 若 ，则 叫做 的 次方根，其中 且 ． 如果 EMBED Equation.DSMT4 ，那么 叫做以 为底 的对数，记作 ． 表示 ①正分数指数幂： （ , ,且 )； ②负分数指数幂： （ , ,且 )； ③0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义. ① 为偶数时： ，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，负数没有偶次方根； ② 为奇数时： ，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数； ③0的 次方根是0. 互化 ； 性质 ① ② ① ( 使 有意义) ② ① ， ②：零和负数没有对数 ③对数恒等式： 运算 性质 ① ② ③ ①同类根式可以合并（加减运算）； ②根式的化简可以转化为分数指数幂进行运算 ① ② ③ 常见结论 换底公式： 三、问题研讨 问题1：指数运算 例题1.化简下列各式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 提炼：进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂. 例题2.已知 ，求 的值. 解：将 两边平方，得 ，即 ， 两边再平方，得 ，即 问题2：对数运算 例题3.计算下列各式： （1） ； （2） . 解：（1）原式 （2）原式 . 例题4：（1）已知 为正实数，则 A． B． C． D． （2）函数 的最小值为_________． 提示：（1）D. 因为 . （2） EMBED Equation.DSMT4 ， 令 ，则 化为 ， 当 时，取最小值为 ，即函数 最小值为 . 提炼：（1）首先运用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数运算性质化简合并。（2）将不同底的对数式化为同底的对数式。 问题3：指数方程与对数方程 例题5：解下列方程： （1） ；（2） 答案：（1） 或 （2） 提示：（1）由 ，得 ，即 所以 或 ，即 或 （2）原方程可变形为 ，即 ， 得 ，整理得 ，解得 或 （舍去） 经检验 是原方程的解。 提炼：解对数方程一定要注意对数方程成立条件下 的取值范围。 问题4：指对数综合 例题6.（1）设 ，且 ，则 ________； （2）已知 ， ，则 的值为________． 答案：（1） （2）12 提示：（1）因为