课时过关检测(十八)　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题-2021届高三数学一轮复习练习

课时过关检测(十八)　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 1．设函数f(x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝(2－x－x2)ex＝－(x＋2)(x－1)ex. 当x<－2或x>1时，f′(x)<0；当－2<x<1时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)设F(x)＝f(x)－(ax＋1＋2x2)，F(0)＝0， F′(x)＝(2－x－x2)ex－4x－a，F′(0)＝2－a， 当a≥2时，F′(x)＝(2－x－x2)ex－4x－a≤－(x＋2)·(x－1)ex－4x－2≤－(x＋2)(x－1)ex－x－2＝－(x＋2)·[(x－1)ex＋1]， 设h(x)＝(x－1)ex＋1，h′(x)＝xex≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)＝(x－1)ex＋1≥h(0)＝0， 即F′(x)≤0在[0，＋∞)上恒成立，F(x)在[0，＋∞)上单调递减，F(x)≤F(0)＝0，所以f(x)≤ax＋1＋2x2在[0，＋∞)上恒成立． 当a<2时，F′(0)＝2－a>0，而函数F′(x)的图象在(0，＋∞)上连续且x→＋∞，F′(x)逐渐趋近负无穷，必存在正实数x0使得F′(x0)＝0且在(0，x0)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x0)上单调递增，此时F(x)>F(0)＝0，f(x)>ax＋1＋2x2有解，不满足题意． 综上，a的取值范围是[2，＋∞)． 2．设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝，－2mx＝ 当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当m>0时，令f′(x)>0，得0<x<， 令f′(x)<0，得x>， ∴f(x)在上单调递减． 上单调递增，在 (2)由(1)知，当f(x)有极值时，m>0，且f(x)在上单调递减． 上单调递增，在 ∴f(x)max＝f＋1＝－ln m，－m·＝2ln 若存在x0，使得f(x