课时过关检测(十九)　利用导数研究函数零点问题-2021届高三数学一轮复习练习

课时过关检测(十九)　利用导数研究函数零点问题 1．已知函数f(x)＝kx－ln x(k>0)． (1)若k＝1，求f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值． 解：(1)若k＝1，则f(x)＝x－ln x，定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝1－， 由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1， ∴f(x)的单调递减区间为(0,1)， 单调递增区间为(1，＋∞)． (2)法一：由题意知，方程kx－ln x＝0仅有一个实根， 由kx－ln x＝0，得k＝(x>0)． 令g(x)＝，(x>0)，则g′(x)＝ 当0<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0. ∴g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(e)＝. 当x→＋∞时，g(x)→0. 又∵k>0，∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝. 法二：f(x)＝kx－ln x，f′(x)＝k－(x>0，k>0)． ＝ 当0<x<时，f′(x)>0.时，f′(x)<0；当x> ∴f(x)在上单调递增，上单调递减，在 ∴f(x)min＝f，＝1－ln ∵f(x)有且只有一个零点，∴1－ln .＝0，即k＝ 法三：∵k>0，∴函数f(x)有且只有一个零点等价于直线y＝kx与曲线y＝ln x相切，设切点为(x0，y0)，由y＝ln x， 得y′＝.，∴实数k的值为∴k＝，∴ 2．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b. (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b， 则f′(x)＝3x2＋2x－1， 由f′(x)>0，得x<－1或x>.，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和 (2)函数f(x)的图象与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根． 令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x. 由g′(x)>0，得x<－或x>0； 由g′(x)<0，得－<x<0. 所以函数g(x)在上单调递减． 和(0，＋∞)上单调递增，在 所以当x＝－＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b.＝时，函数g(x)取得极大值g 要满足题意